Как найти производную сложной функции? (функции tg

Конечно, я могу помочь вам с этой задачей! Для начала, давайте рассмотрим, как найти производную сложной функции.

При нахождении производной сложной функции, нам необходимо использовать правило дифференцирования, называемое правилом цепочки или правилом дифференцирования сложной функции. Оно гласит, что производная сложной функции равна произведению производной внешней функции и производной внутренней функции.

Теперь применим это правило к функции \(y = \tan(x)\). При дифференцировании во-первых, нам нужно выразить данную функцию с помощью элементарных функций. Это можно сделать следующим образом:

\[
\tan(x) = \frac{{\sin(x)}}{{\cos(x)}}
\]

Теперь мы можем выразить функцию \(y\) через две внешние функции: \(u(x) = \sin(x)\) и \(v(x) = \cos(x)\). Применим правило цепочки, чтобы найти производную сложной функции:

\[
\frac{{dy}}{{dx}} = \frac{{dv}}{{dx}} \cdot \frac{{du}}{{dv}}
\]

Теперь найдем производные внешней и внутренней функций:

\[
\frac{{du}}{{dx}} = \cos(x) \quad \text{(производная внутренней функции)}
\]
\[
\frac{{dv}}{{dx}} = -\sin(x) \quad \text{(производная внешней функции)}
\]

Теперь подставим найденные производные в формулу:

\[
\frac{{dy}}{{dx}} = -\sin(x) \cdot \cos(x)
\]

Это и есть производная сложной функции \(y = \tan(x)\).

Таким образом, производная функции \(y = \tan(x)\) равна \(-\sin(x) \cdot \cos(x)\).