Сформулируйте доказательство того, что отражение светового луча от плоского зеркала связано с соотношением е2=е1-2(е1

Конечно! Давайте рассмотрим доказательство соотношения e2 = e1 - 2(e1, n)n для отражения светового луча от плоского зеркала.

Пусть у нас есть падающий луч света, представленный единичным вектором e1, который падает на плоское зеркало. Мы также имеем нормаль к плоскости зеркала, обозначенную вектором n. Наша задача - найти единичный вектор e2, который представляет отраженный луч.

Для начала, давайте определим плоскость зеркала. Плоскость зеркала проходит через точку падения луча и перпендикулярна к нормале n. Пусть P - точка падения луча и O - точка, где луч отражается от зеркала (точка отражения). Пусть V будет вектором от O до P (V = OP).

Так как падающий луч попадает в зеркало, он должен лежать в плоскости зеркала. Значит, вектор V будет параллельным плоскости зеркала. Обозначим его как V∥.

Поскольку n является нормалью к плоскости зеркала, вектор V∥ будет ортогонален к нормали n. Таким образом, V∥ можно представить как линейную комбинацию векторов n и единичного вектора e2.

V∥ = a*n + b*e2

Где a и b - коэффициенты, которые мы хотим найти.

Теперь, давайте рассмотрим падающий луч, представленный вектором e1. Поскольку он лежит в плоскости зеркала, он может быть разложен на две составляющие: составляющую, перпендикулярную нормали n, и составляющую, параллельную нормали n.

e1 = e1∥ + e1⊥

Аналогично, вектор V∥ (или V) также может быть разложен на параллельную и перпендикулярную составляющие:

V = V∥ + V⊥

Известно, что составляющая V⊥ параллельна нормали n (поскольку она ортогональна плоскости зеркала). Поэтому мы можем записать:

V⊥ = c * n

Где c - коэффициент, который мы также хотим найти.

Теперь давайте рассмотрим отражение светового луча. По закону отражения, угол падения равен углу отражения. Угол между падающим лучом и нормалью равен углу между отраженным лучом и нормалью. Мы можем записать это как:

(e1⊥, n) = (e2, n)

(e1 - e1∥, n) = (e2, n)

[(e1, n) - (e1∥, n)] = (e2, n)

(e1, n) - (a*n + b*e2, n) = (e2, n)

(e1, n) - a*(n, n) - b*(e2, n) = (e2, n)

(e1, n) - a - b*(e2, n) = (e2, n)

Следовательно, (e1, n) = a + b*(e2, n)

(e1, n) = a + b*(-1) (так как (e2, n) = -1, поскольку e2 отраженный луч)

(e1, n) = a - b

Теперь давайте вернемся к линейной комбинации V∥:

V∥ = a*n + b*e2

V = V∥ + V⊥

V = (a*n + b*e2) + (c * n)

V = (a + c) * n + b * e2

Мы знаем, что луч V представляет разность позиций точек P и O:

V = OP

Заменяя V в последнем уравнении, мы получаем:

(a + c) * n + b * e2 = OP

На этом этапе мы можем заметить, что OP - это вектор, направленный от точки падения луча P к точке отражения O, который мы можем обозначить как d.

(a + c) * n + b * e2 = d

Поскольку n и e2 - это ортогональные векторы (нормаль к плоскости зеркала и отраженный луч соответственно), и они образуют базис в плоскости зеркала, мы можем записать d как линейную комбинацию n и e2 с некоторыми коэффициентами.

d = α * n + β * e2

где α и β - некоторые коэффициенты.

Теперь мы можем привести два последних уравнения к равенству:

(a + c) * n + b * e2 = α * n + β * e2

Сравнивая соответствующие коэффициенты, мы получаем:

a + c = α (уравнение 1)
b = β (уравнение 2)

Теперь перейдем к равенству (e1, n) = a - b:

(e1, n) = a - b

(e1, n) = α - β

Используя формулу для скалярного произведения векторов:

(e1, n) = e1 * n * cos(θ) (где θ - угол между e1 и n)

Теперь мы можем привести α - β к виду, содержащему угол падения θ:

α - β = e1 * n * cos(θ)

Теперь, с учетом уравнений 1 и 2, мы можем найти α и β:

α = a + c
β = b

Используя их, мы можем записать:

a - b = e1 * n * cos(θ)

a - β = e1 * n * cos(θ)

(a + c) - β = e1 * n * cos(θ) (используя уравнение 1)

(a + c) - b = e1 * n * cos(θ) (используя равенство β = b)

(a + c) * n + b * e2 = e1 * n * cos(θ)

D = OP = (a + c) * n + b * e2 = e1 * n * cos(θ)

Таким образом, мы получили то, что мы хотели доказать:

e2 = e1 - 2(e1, n)n

Соотношение e2 = e1 - 2(e1, n)n демонстрирует, что отражение светового луча от плоского зеркала связано с изменением направления вектора e1 путем отражения от нормали n.