Самостоятельная работа 2.1 Параллельность прямых, прямой и плоскости Вариант 2 А1. В точке А рисунка 1, РМ

Решение:

А1. Для решения этой задачи нам нужно применить свойства параллельных прямых и использовать факт, что РМ и НК являются серединами соответствующих отрезков.

Из условия задачи у нас есть следующие параллельности: CD || AB, BC || AD, CD || НК.

Так как CD || AB, то мы можем применить свойство параллельных прямых и сказать, что отношение длин отрезков AC и CD равно отношению длин отрезков AB и ВС. То есть:

\[\frac{AC}{CD} = \frac{AB}{BC}\]

Подставляем известные значения в данное равенство: AC = 16 - РМ и CD = 16.

\[\frac{16 - РМ}{16} = \frac{AB}{8}\]

Так как РМ - середина отрезка CD, то РМ = \(\frac{CD}{2}\), а значит РМ = 8.

Теперь находим значение НК. Из условия задачи мы знаем, что НК является серединой отрезка BC. То есть НК = \(\frac{BC}{2}\). Подставляем значение BC = 8.

НК = \(\frac{8}{2}\), значит НК = 4.

Итак, мы нашли значения РМ и НК. РМ = 8 и НК = 4.

А2. Чтобы доказать, что плоскость п параллельна AC, мы должны использовать свойства параллельных прямых и плоскостей.

Из условия задачи у нас есть следующее: Ник является серединой отрезка AB и серединой отрезка BC. То есть Ник делит отрезок AC пополам.

Предположим, что плоскость п не параллельна AC. Тогда плоскость п пересекает AC в какой-то точке, отличной от Ник. Пусть эта точка называется М.

Так как Ник - середина отрезка AB, то мы можем применить свойство серединных перпендикуляров и сказать, что МНик перпендикулярна AB и делит его пополам.

Также, так как Ник - середина отрезка BC, то МНик перпендикулярна BC и делит его пополам.

Но мы знаем, что плоскость а пересекает стороны BA и BC в точках Ник и К соответственно. То есть МНик пересекает сторону BC в точке К.

Таким образом, у нас получается, что МНик является серединным перпендикуляром к сторонам AB и BC треугольника ABC.

А так как Ник - середина отрезка AC, то МНик должен также быть перпендикулярен AC.

Но у нас есть противоречие: по предположению, плоскость п пересекает AC в точке М, а не в точке Ник.

Значит, наше предположение неверно, и плоскость п параллельна AC.

В1. Чтобы доказать, что любые две из трех прямых, соединяющих середины отрезков AB и CD, AC и BD, BC и AD, пересекаются в одной точке, мы можем воспользоваться свойством серединного перпендикуляра.

Известно, что AB и CD - произвольные отрезки. Пусть М1 будет серединой отрезка AB, а М2 - серединой отрезка CD.

Теперь рассмотрим отрезок М1М2. Он соединяет середины отрезков AB и CD.

Так как М1 - середина отрезка AB, а М2 - середина отрезка CD, то отрезок М1М2 является серединным перпендикуляром к отрезку AB и к отрезку CD. Это означает, что отрезок М1М2 перпендикулярен к плоскости, в которой лежат отрезки AB и CD.

Рассмотрим еще две пары отрезков: AC и BD, BC и AD.

Аналогично, мы можем сказать, что отрезок М3М4, где М3 - середина отрезка AC, а М4 - середина отрезка BD, является серединным перпендикуляром к отрезку AC и к отрезку BD.

Также, отрезок М5М6, где М5 - середина отрезка BC, а М6 - середина отрезка AD, является серединным перпендикуляром к отрезку BC и к отрезку AD.

Итак, все три отрезка М1М2, М3М4 и М5М6 являются серединными перпендикулярами к разным парам отрезков.

Согласно свойству серединного перпендикуляра, все три перпендикуляра пересекаются в одной точке, и эта точка называется точкой пересечения серединных перпендикуляров.

Таким образом, мы доказали, что любые две из трех прямых, соединяющих середины отрезков AB и CD, AC и BD, BC и AD, пересекаются в одной точке.