Яка площа перерізу кулі на відстані 4 см від її центра, якщо об єм кулі становить 288π см3?

Щоб вирішити задачу, нам знадобиться використати формулу для об’єму кулі. Об’єм кулі можна обчислити за допомогою формули \( V = \frac{4}{3}\pi r^3 \), де \( V \) - об’єм кулі, \( \pi \) - число пі, \( r \) - радіус кулі.

Ми знаємо, що об’єм кулі становить \( 288\pi \) см³. Підставимо це значення в формулу і розв’яжемо її відносно радіуса \( r \):

\[ 288\pi = \frac{4}{3}\pi r^3 \]

Для початку, помножимо обидві частини рівняння на \( \frac{3}{4}\) щоб скасувати дробовий множник:

\[ \frac{3}{4} \cdot 288\pi = \frac{3}{4} \cdot \frac{4}{3}\pi r^3 \]

\[ 216\pi = \pi r^3 \]

Тепер поділимо обидві частини рівняння на \( \pi \) для виділення куба радіуса:

\[ \frac{216\pi}{\pi} = \frac{\pi r^3}{\pi} \]

\[ 216 = r^3 \]

Тепер виражаємо радіус кулі \( r \), взявши третій корінь з обох частин рівняння:

\[ r = \sqrt[3]{216} \]

\[ r = 6 \]

Отже, радіус кулі дорівнює 6 см.

Щоб знайти площу перерізу кулі на відстані 4 см від її центра, нам знадобиться використати формулу площі сферичного сегмента \( S = 2\pi rh \), де \( S \) - площа сегмента, \( \pi \) - число пі, \( r \) - радіус кулі, \( h \) - висота сегмента.

У нашому випадку, радіус кулі \( r = 6 \) см, а відстань від центра кулі до площини перерізу \( h = 4 \) см. Підставляємо значення в формулу:

\[ S = 2\pi \cdot 6 \cdot 4 \]

\[ S = 48\pi \]

Отже, площа перерізу кулі на відстані 4 см від її центра становить \( 48\pi \) см².