С1. а) Найдите период и частоту колебаний материальной точки, если она совершает 300 колебаний за 1 минуту

С1. а) Для расчета периода и частоты колебаний материальной точки, воспользуемся следующими формулами:

Период (T) - это время, за которое материальная точка совершает одно полное колебание. Он вычисляется по формуле:

\[T = \dfrac{1}{f}\]

где f - частота колебаний материальной точки.

Частота (f) - это количество колебаний материальной точки, совершаемых в единицу времени. Она вычисляется по формуле:

\[f = \dfrac{1}{T}\]

где T - период колебаний.

У нас известно, что материальная точка совершает 300 колебаний за 1 минуту. Так как период приводится в секундах, переведем 1 минуту в секунды:

1 минута = 60 секунд

Теперь можем осуществить вычисления:

\[f = \dfrac{300}{60} = 5 \, \text{Гц}\]

\[T = \dfrac{1}{5} = 0.2 \, \text{с}\]

Таким образом, период колебаний материальной точки составляет 0.2 секунды, а частота равна 5 Гц.

б) Уравнение гармонических колебаний материальной точки имеет следующий вид:

\[x = A \sin(\omega t + \phi)\]

где x - смещение материальной точки от положения равновесия в момент времени t, А - амплитуда колебаний, ω - циклическая частота (равная \(2\pi f\)), t - время, прошедшее с начала колебаний, а φ - начальная фаза.

Исходя из того, что смещение материальной точки от положения равновесия в начальный момент времени (t = 0) максимально и равно 4 см, мы получаем следующее уравнение:

\[x = 4 \sin(\omega t)\]

Для построения графика этих колебаний, нам необходимо знать значения амплитуды, циклической частоты и начальной фазы. Однако, в данной задаче эти значения не указаны, поэтому мы не сможем построить график конкретного колебания.

в) Уравнения для зависимости скорости и ускорения материальной точки от времени:

Скорость (v) можно выразить как производную смещения от времени:

\[v(t) = \dfrac{dx}{dt}\]

Ускорение (a) может быть найдено как производная скорости по времени:

\[a(t) = \dfrac{dv}{dt} = \dfrac{d^2x}{dt^2}\]

Зависимость скорости и ускорения от времени будет зависеть от выбранного уравнения гармонических колебаний. В нашем случае, в соответствии с буквенной обозначенной формулой, уравнения примут следующий вид:

\[v(t) = 4\omega \cos(\omega t)\]

\[a(t) = -4\omega^2\sin(\omega t)\]

Здесь мы использовали то, что производная sin(x) равна cos(x) и производная cos(x) равна -sin(x).

Значения амплитуд скорости и ускорения, а также значения циклической частоты (ω), будут определяться конкретной ситуацией или входными данными задачи, которая не указана в данном случае. Вам необходимо предоставить дополнительные сведения для того, чтобы мы могли определить эти значения.