Какова индукция магнитного поля в центре квадрата, если через его вершины проходят четыре длинных прямых параллельных

Для решения этой задачи мы можем использовать закон Био-Савара-Лапласа, который связывает магнитное поле, создаваемое прямым проводником, с его током и расстоянием от проводника.

Итак, для начала определим поле \(d\vec{B}\), создаваемое каждым прямым проводником в центре квадрата. Знаем, что поле \(d\vec{B}\) пропорционально току проводника \(I\) и инверсно пропорционально квадрату расстояния \(r\). Также, для каждого проводника в центре квадрата будет действовать магнитное поле, создаваемое остальными тремя проводниками. Поскольку три проводника имеют одно направление тока, а четвертый – противоположное, то магнитные поля, создаваемые одними проводниками, будут складываться, а поля, создаваемые противоположными проводниками, будут вычитаться.

Таким образом, общее магнитное поле в центре квадрата будет равно сумме полей, создаваемых каждым из проводников.

Для начала найдем значение поля \(d\vec{B}\), создаваемого одним проводником, в центре квадрата. Расстояние между проводником и его центром можно выразить как \(r = \frac{l}{\sqrt{2}}\), где \(l\) - длина стороны квадрата (равная 30 см) и \(\sqrt{2}\) - коэффициент учитывающий диагональное расстояние.

Теперь мы можем использовать формулу для поля \(d\vec{B}\):
\[d\vec{B} = \frac{\mu_0}{4\pi} \frac{I}{r^2} d\vec{l},\]
где \(\mu_0\) - магнитная постоянная в вакууме (\(\mu_0 = 4\pi \times 10^{-7} \, \text{Тл} \cdot \text{м/А}\)), \(I\) - ток проводника, \(r\) - расстояние от проводника до центра квадрата, а \(d\vec{l}\) - элементарный участок проводника.

Теперь мы можем интегрировать это выражение по всей длине каждого проводника, чтобы найти поле, создаваемое одним проводником:
\[\vec{B_1} = \int d\vec{B} = \frac{\mu_0 \cdot I}{4\pi} \int \frac{d\vec{l}}{r^2}.\]
Поскольку проводники параллельны, элементарный участок проводника \(d\vec{l}\) будет направлен вдоль стороны квадрата. Также, поскольку проводник находится в центре квадрата, то \(r\) будет постоянным.

Теперь мы можем проинтегрировать это выражение:
\[\vec{B_1} = \frac{\mu_0 \cdot I}{4\pi} \int \frac{d\vec{l}}{r^2} = \frac{\mu_0 \cdot I}{4\pi \cdot r^2} \int d\vec{l}.\]
Поскольку \(r\) и \(d\vec{l}\) постоянные, то данное выражение можно упростить:
\[\vec{B_1} = \frac{\mu_0 \cdot I}{4\pi \cdot r^2} \cdot l,\]
где \(l\) - длина стороны квадрата.

Поскольку каждый проводник создает поле \(\vec{B_1}\), в центре квадрата общее магнитное поле будет равно сумме полей от каждого проводника. При этом поля, создаваемые тремя параллельными проводниками, будут складываться, а поле, создаваемое противоположным проводником, будет от них вычитаться:
\[\vec{B} = 3 \cdot \vec{B_1} - \vec{B_1} = 2 \cdot \vec{B_1}.\]

Теперь мы можем подставить найденное значение \(\vec{B_1}\) в это выражение:
\[\vec{B} = 2 \cdot \left(\frac{\mu_0 \cdot I}{4\pi \cdot r^2} \cdot l\right),\]
\[\vec{B} = \frac{\mu_0 \cdot I}{2\pi \cdot r^2} \cdot l.\]

Таким образом, индукция магнитного поля в центре квадрата будет равна:
\[\vec{B} = \frac{\mu_0 \cdot I}{2\pi \cdot r^2} \cdot l.\]

Подставляя известные значения (\(l = 30 \, \text{см}\), \(I = 10 \, \text{А}\), \(r = \frac{l}{\sqrt{2}}\)), мы можем найти конкретное значение индукции магнитного поля в центре квадрата.