С каким наименьшим количеством должно быть вынуто наугад, чтобы вероятность наличия хотя бы одного красного среди

Чтобы решить эту задачу, давайте рассмотрим вероятности наличия красной шаров при различных количествах вынутых наугад. Пусть у нас имеется корзина с \(N\) шарами, где \(k\) из них красные.

Если вынуть только один шар, то вероятность того, что он будет красным, равна \(\frac{k}{N}\).

Если вынуть два шара, то чтобы обеспечить наличие хотя бы одного красного, мы можем сосредоточиться на вероятности его отсутствия. Вероятность вытащить два некрасных шара равна \(\frac{N-k}{N} \times \frac{N-k-1}{N-1}\). Следовательно, вероятность наличия хотя бы одного красного шара равна обратной этой вероятности, то есть \(1 - \frac{(N-k)(N-k-1)}{N(N-1)}\).

Аналогичным образом можно продолжать рассуждать и для более большего количества вынутых шаров.

Теперь нам нужно найти такое минимальное \(N\), чтобы вероятность наличия хотя бы одного красного была равна. Для этого, давайте поочередно рассмотрим вероятности для каждого возможного \(N\) и найдем самое маленькое, при котором вероятность будет равна.

Пусть \(N = 1\). В этом случае вероятность наличия красного шара равна \(\frac{k}{1} = k\). Нам нужно, чтобы эта вероятность была равна 1. Следовательно, \(k = 1\).

Пусть \(N = 2\). Вероятность наличия хотя бы одного красного шара равна \(1 - \frac{(2-1)(2-2)}{2(2-1)} = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}\). В этом случае нам нужно, чтобы эта вероятность была равна 1. Следовательно, это не подходит.

Пусть \(N = 3\). Вероятность наличия хотя бы одного красного шара равна \(1 - \frac{(3-1)(3-2)}{3(3-1)} = 1 - \frac{2}{6} = \frac{2}{3}\). В этом случае нам нужно, чтобы эта вероятность была равна 1. Следовательно, это не подходит.

Продолжая аналогичные вычисления, мы можем заключить, что наименьшее \(N\), для которого вероятность наличия хотя бы одного красного шара будет равна, равно 4. Таким образом, необходимо вынуть наугад не менее 4 шаров, чтобы быть уверенным в наличии хотя бы одного красного среди них.