Рисунок предоставлен. Расстояние OM = 13,5 см. Расстояние OK = 27 см. Расстояние ON = 5,5 см. Расстояние OP = 11

Конечно! Давайте разберем эту задачу пошагово.

а) Чтобы доказать параллельность отрезков MN и KP, мы можем использовать свойства параллельных прямых и треугольников.

Сначала обратимся к треугольнику ONK. У нас есть две пары прямых углов: \(\angle ONK\) и \(\angle KOP\), поскольку эти углы являются вертикальными (они находятся напротив друг друга и пересекают одну прямую). Следовательно, \(\angle ONK = \angle KOP\).

Затем рассмотрим треугольник OMK. У нас также есть две пары прямых углов: \(\angle ONK\) и \(\angle KOM\) (вертикальные углы), а также \(\angle KOP\) и \(\angle KMO\) (эти углы образуются при пересечении параллельных прямых OK и MN прямой KM). Следовательно, \(\angle ONK = \angle KOM\) и \(\angle KOP = \angle KMO\).

Используя транзитивное свойство равенства (\(\angle ONK = \angle KOP\), \(\angle ONK = \angle KOM\), \(\angle KOP = \angle KMO\)), мы можем заключить, что \(\angle KOM = \angle KMO\).

Когда два угла треугольника равны, можно сделать вывод о том, что третий угол также равен. Таким образом, \(\angle KOM = \angle KMO\) означает, что \(\angle KOM\) и \(\angle KMO\) - это прочные углы.

Значит, у нас есть две пары параллельных прямых углов (\(\angle ONK = \angle KOP\), \(\angle KOM = \angle KMO\)), что позволяет нам заключить, что отрезки MN и KP параллельны.

б) Теперь найдем отношение площадей и периметров треугольников OMN и OKP.

Периметр треугольника можно найти, сложив длины всех его сторон.

Периметр треугольника OMN вычисляется по формуле:
\[P_{OMN} = OM + MN + NO\]
Подставляя данные из условия, имеем:
\[P_{OMN} = 13,5 + MN + 5,5\]
\[P_{OMN} = 19 + MN \hspace{10mm} (1)\]

Аналогично вычислим периметр треугольника OKP:
\[P_{OKP} = OK + KP + PO\]
Подставляя данные из условия, получаем:
\[P_{OKP} = 27 + KP + 11\]
\[P_{OKP} = 38 + KP \hspace{10mm} (2)\]

Теперь рассмотрим площади треугольников OMN и OKP.

Площадь треугольника можно найти по формуле:
\[S = \frac{1}{2} \cdot \text{основание} \cdot \text{высота}\]

Площадь треугольника OMN вычисляем по базе ON и высоте, опущенной на эту базу. Так как треугольник параллелограммный, то высота равна NP (перпендикуляр к базе ON).
Так как ON — база(основание) треугольника, а NP — высота, получаем:
\[S_{OMN} = \frac{1}{2} \cdot ON \cdot NP\]
\[S_{OMN} = \frac{1}{2} \cdot 5,5 \cdot NP\]
\[S_{OMN} = 2,75 \cdot NP \hspace{10mm} (3)\]

Площадь треугольника OKP вычисляем по базе OP и высоте, опущенной на эту базу. Так как треугольник параллелограммный, то высота равна MP (перпендикуляр к базе OP).
Так как OP — база(основание) треугольника, а MP — высота, получаем:
\[S_{OKP} = \frac{1}{2} \cdot OP \cdot MP\]
\[S_{OKP} = \frac{1}{2} \cdot 11 \cdot MP\]
\[S_{OKP} = 5,5 \cdot MP \hspace{10mm} (4)\]

Теперь мы можем выразить отношение площадей и периметров треугольников OMN и OKP.

Для отношения площадей обозначим \(\frac{S_{OMN}}{S_{OKP}}\) как \(K_1\).

Тогда
\[K_1 = \frac{S_{OMN}}{S_{OKP}} = \frac{2,75 \cdot NP}{5,5 \cdot MP}\]

Для отношения периметров обозначим \(\frac{P_{OMN}}{P_{OKP}}\) как \(K_2\).

Тогда
\[K_2 = \frac{P_{OMN}}{P_{OKP}} = \frac{19 + MN}{38 + KP}\]

Таким образом, мы получили пошаговое решение задачи.