Яка висота H циліндра, у якого діагональ осьового перерізу дорівнює 28 см, а кут між діагоналлю та основою циліндра

Для решения данной задачи нам потребуется использовать геометрические свойства цилиндра и применить теорему косинусов.

Дано:
Диагональ осевого сечения цилиндра: \(d = 28\) см
Угол между диагональю и основанием цилиндра: \(\alpha = 30\)°

Нам нужно найти высоту цилиндра \(H\).

Для начала, давайте найдем боковую сторону треугольника, образованного диагональю и высотой цилиндра.

Используем теорему косинусов:
\[
d^2 = h^2 + r^2 - 2hr \cdot \cos(\alpha)
\]

где \(h\) - высота цилиндра, \(r\) - радиус основания цилиндра.

Так как цилиндр имеет две одинаковые основы, радиус основания будет половиной высоты осевого сечения. Поэтому, \(r = \frac{H}{2}\).

Подставляем значения в формулу:
\[
28^2 = H^2 + \left(\frac{H}{2}\right)^2 - 2H \cdot \frac{H}{2} \cdot \cos(30°)
\]

Упрощаем и решаем уравнение:
\[
784 = H^2 + \frac{H^2}{4} - H^2 \cdot \cos(30°)
\]
\[
784 = \frac{4H^2 + H^2 - 4H^2 \cdot \cos(30°)}{4}
\]
\[
3136 = 5H^2 - 4H^2 \cdot \cos(30°)
\]
\[
3136 = H^2 \cdot (5 - 4 \cdot \cos(30°))
\]
\[
3136 = H^2 \cdot (5 - 4 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2})
\]
\[
3136 = H^2 \cdot (5 - 2\sqrt{3})
\]

Теперь найдем высоту \(H\). Для этого разделим обе стороны уравнения на \(5 - 2\sqrt{3}\):
\[
H^2 = \frac{3136}{5-2\sqrt{3}}
\]

Используя калькулятор, мы можем приближенно найти, что
\[
H \approx 18.75 \text{ см}
\]

Таким образом, высота цилиндра \(H\) равна приблизительно 18.75 см.