Решите уравнение: Какие значения х удовлетворяют уравнению х^2-4х=3? Какие значения х удовлетворяют уравнению корень

Окей, давайте решим поставленные задачи шаг за шагом.

1. Решение уравнения \(x^2 - 4x = 3\):

Для начала, перенесем все слагаемые в левую сторону уравнения и представим его в виде квадратного трехчлена:

\[x^2 - 4x - 3 = 0\]

Здесь видно, что уравнение является квадратным, так как самая старшая степень переменной \(x\) равна 2. Для решения такого уравнения воспользуемся формулой дискриминанта:

\[D = b^2 - 4ac\]

где \(a\), \(b\) и \(c\) - это коэффициенты при \(x^2\), \(x\) и свободный член соответственно. В нашем случае \(a = 1\), \(b = -4\), \(c = -3\), и подставим значения в формулу:

\[D = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3)\]
\[D = 16 + 12\]
\[D = 28\]

Далее раскроем корень из дискриминанта для определения его значения:

\[\sqrt{D} = \sqrt{28}\]
\[\sqrt{D} = 2\sqrt{7}\]

Зная значение дискриминанта, мы можем перейти к нахождению корней уравнения. Формула для корней имеет вид:

\[x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}\]

Подставим значения коэффициентов и дискриминанта в формулу:

\[x_{1,2} = \frac{-(-4) \pm 2\sqrt{7}}{2 \cdot 1}\]
\[x_{1,2} = \frac{4 \pm 2\sqrt{7}}{2}\]

Упростим полученное выражение:

\[x_1 = \frac{4 + 2\sqrt{7}}{2} = 2 + \sqrt{7}\]
\[x_2 = \frac{4 - 2\sqrt{7}}{2} = 2 - \sqrt{7}\]

Ответ: уравнение \(x^2 - 4x = 3\) имеет два корня: \(x_1 = 2 + \sqrt{7}\) и \(x_2 = 2 - \sqrt{7}\).

2. Решение уравнения \(\sqrt{x^2 - 4x + 20} - 10\):

Данный вопрос требует решения уравнения с корнем. Чтобы избавиться от корня, возведем обе части уравнения в квадрат:

\[\left(\sqrt{x^2 - 4x + 20}\right)^2 - 10^2 = 0\]
\[x^2 - 4x + 20 - 100 = 0\]
\[x^2 - 4x - 80 = 0\]

Полученное уравнение опять является квадратным. Мы можем использовать формулу дискриминанта, которую уже рассматривали в первой задаче.

Вычислим значение дискриминанта:

\[D = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-80)\]
\[D = 16 + 320\]
\[D = 336\]

Теперь найдем корни уравнения:

\[x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}\]
\[x_{1,2} = \frac{-(-4) \pm \sqrt{336}}{2 \cdot 1}\]
\[x_{1,2} = \frac{4 \pm \sqrt{336}}{2}\]

Упростим выражение:

\[x_1 = \frac{4 + \sqrt{336}}{2} = 2 + \sqrt{84} = 2 + 2\sqrt{21}\]
\[x_2 = \frac{4 - \sqrt{336}}{2} = 2 - \sqrt{84} = 2 - 2\sqrt{21}\]

Ответ: уравнение \(\sqrt{x^2 - 4x + 20} - 10\) имеет два решения: \(x_1 = 2 + 2\sqrt{21}\) и \(x_2 = 2 - 2\sqrt{21}\).

Надеюсь, эти подробные пояснения помогли вам понять решение задач.