Как найти решение тригонометрического уравнения cosx⋅ctgx−(√3)cosx=0?

Для решения данного тригонометрического уравнения, давайте последовательно выполним несколько шагов.

Шаг 1: Приведение уравнения к общему знаменателю.
В данном случае у нас имеется произведение cosx на ctgx, которое неудобно для дальнейшего анализа. Чтобы избавиться от ctgx, вспомним, что ctgx является обратным к тангенсу tgx. Поэтому ctgx равен 1/tgx или cosx/sinx. Заменим ctgx в уравнении соответственно:

\(cosx \cdot \frac{{cosx}}{{sinx}} - \sqrt{3}cosx = 0\)

Шаг 2: Приведение всех слагаемых в уравнении к общему знаменателю.
Для этого умножаем оба слагаемых на sinx:

\(cos^2x - \sqrt{3}cosx \cdot sinx = 0\)

Шаг 3: Применение формулы sin^2x + cos^2x = 1.
Вспомним, что sin^2x + cos^2x всегда равно 1. Используя эту формулу, заменим sin^2x в уравнении:

\(1 - cos^2x - \sqrt{3}cosx \cdot sinx = 0\)

Шаг 4: Упрощение уравнения.
Теперь у нас есть одно квадратное уравнение относительно cosx. Перенесем все слагаемые в одну сторону и упростим выражение:

\(cos^2x + \sqrt{3}cosx \cdot sinx - 1 = 0\)

Шаг 5: Факторизация уравнения.
Представим уравнение в виде произведения двух линейных множителей:

\((cosx + x_1)(cosx + x_2) = 0\)

где \(x_1\) и \(x_2\) - корни уравнения.

Шаг 6: Решение факторизованного уравнения.
Разбиваем полученное уравнение на два уравнения:

\(cosx + x_1 = 0\) и \(cosx + x_2 = 0\)

Решим каждое из них по отдельности:

Для \(cosx + x_1 = 0\):
\(cosx = -x_1\)
\(x = arccos(-x_1)\)

Для \(cosx + x_2 = 0\):
\(cosx = -x_2\)
\(x = arccos(-x_2)\)

Таким образом, мы получаем два значения \(x\), которые являются решениями данного тригонометрического уравнения.

Аккуратно следите за допустимым диапазоном значений \(x\) при нахождении арккосинуса и учтите все ограничения для факторизованного уравнения.