Решите уравнение: 12^u−4⋅6^u+3⋅3^u=0. 1. После преобразований будет получено квадратное уравнение: ...y^2−...y+...=0

Шаг 1: Приведение уравнения к квадратному виду

У нас дано уравнение: \(12^u - 4 \cdot 6^u + 3 \cdot 3^u = 0\)

Для приведения его к квадратному виду, воспользуемся заменой переменной. Давайте введем новую переменную \(y = 3^u\). Тогда уравнение примет вид:

\((2y)^2 - 4 \cdot 2y + 3 = 0\)

Выполним преобразования внутри каждой скобки и упростим выражение:

\(4y^2 - 8y + 3 = 0\)

Таким образом, мы получили квадратное уравнение стандартного вида: \(ay^2 + by + c = 0\), где \(a = 4\), \(b = -8\), и \(c = 3\).

Шаг 2: Решение квадратного уравнения

Теперь мы можем применить формулу дискриминанта, чтобы найти корни данного квадратного уравнения.

Формула дискриминанта имеет вид: \(D = b^2 - 4ac\)

Подставим значения \(a\), \(b\) и \(c\) в формулу дискриминанта:

\(D = (-8)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 3 = 64 - 48 = 16\)

Теперь, найдем корни уравнения, используя следующую формулу:

\(y_1 = \frac{{-b - \sqrt{D}}}{{2a}}\)

\(y_2 = \frac{{-b + \sqrt{D}}}{{2a}}\)

Подставим значения \(a\), \(b\) и \(D\) в формулы и вычислим:

\(y_1 = \frac{{-(-8) - \sqrt{16}}}{{2 \cdot 4}} = \frac{{8 - 4}}{{8}} = \frac{1}{2}\)

\(y_2 = \frac{{-(-8) + \sqrt{16}}}{{2 \cdot 4}} = \frac{{8 + 4}}{{8}} = \frac{3}{2}\)

Шаг 3: Нахождение ответа

Мы нашли два значения для \(y\): \(y_1 = \frac{1}{2}\) и \(y_2 = \frac{3}{2}\).

Теперь вернемся к исходному уравнению и подставим найденные значения обратно:

Для первого значения \(y_1 = \frac{1}{2}\):
\[y_1 = 3^u = \frac{1}{2}\]

Чтобы решить это уравнение, возьмем логарифм от обеих частей:

\[\log{(3^u)} = \log{\left(\frac{1}{2}\right)}\]

Пользуясь свойствами логарифма, мы можем записать это как:

\[u \cdot \log{3} = \log{(1)} - \log{(2)}\]

Так как \(\log{(1)}\) равен нулю, мы можем упростить уравнение:

\[u \cdot \log{3} = - \log{(2)}\]

Чтобы найти значение \(u\), делим обе части уравнения на \(\log{3}\):

\[u = \frac{{- \log{(2)}}}{{\log{3}}}\]

Таким образом, первый корень показательного уравнения равен: \(u_1 = \frac{{- \log{(2)}}}{{\log{3}}}\)

Аналогично, для второго значения \(y_2 = \frac{3}{2}\), получим:

\[u = \frac{{\log{(3/2)}}}{{\log{3}}}\]

Итак, второй корень показательного уравнения равен: \(u_2 = \frac{{\log{(3/2)}}}{{\log{3}}}\)

Вот окончательный ответ:

1. После преобразований будет получено квадратное уравнение: \(4y^2 - 8y + 3 = 0\). Коэффициенты: \(a = 4\), \(b = -8\), \(c = 3\).
2. Проверьте корни квадратного уравнения: \(y_1 = \frac{1}{2}\), \(y_2 = \frac{3}{2}\).
3. Ответ: корни показательного уравнения: \(u_1 = \frac{{- \log{(2)}}}{{\log{3}}}\), \(u_2 = \frac{{\log{(3/2)}}}{{\log{3}}}\)