Решите неравенство (7 - х)(3х - 3) > 0 и найдите среднее арифметическое целых решений.
Найдите сумму десяти первых членов арифметической прогрессии с заданным первым членом a3 = 5 и разностью d = 3.
Найдите сумму пяти первых членов геометрической прогрессии с заданным третьим членом b3 = 18 и знаменателем q = 3.
Первый член арифметической прогрессии равен -4, а разность равна 2. Сколько первых членов прогрессии нужно взять, чтобы их сумма была равна 84?
При каких значениях х числа 1, х2, 6 - х2, взятые в указанном порядке, образуют геометрическую прогрессию? Найдите эти числа.
Составьте... (the rest of the text is missing)
Найдите сумму десяти первых членов арифметической прогрессии с заданным первым членом a3 = 5 и разностью d = 3.
Найдите сумму пяти первых членов геометрической прогрессии с заданным третьим членом b3 = 18 и знаменателем q = 3.
Первый член арифметической прогрессии равен -4, а разность равна 2. Сколько первых членов прогрессии нужно взять, чтобы их сумма была равна 84?
При каких значениях х числа 1, х2, 6 - х2, взятые в указанном порядке, образуют геометрическую прогрессию? Найдите эти числа.
Составьте... (the rest of the text is missing)
Киска_534
Хорошо, давайте решим все поставленные задачи по очереди.
1. Решение неравенства (7 - х)(3х - 3) > 0:
Для начала найдем значения \(x\), для которых выражение \((7 - x)(3x - 3)\) равно нулю. Из этого можно сделать вывод, что одно из множителей равно нулю. Решая уравнения \((7 - x) = 0\) и \((3x - 3) = 0\), получим \(x = 7\) и \(x = 1\) соответственно.
Теперь разобьем исходное неравенство на интервалы. Рассмотрим три случая:
I. Когда \((7 - x) > 0\) и \((3x - 3) > 0\):
В данном случае \(x < 7\) и \(x > 1\). Объединив эти два условия, получаем \(1 < x < 7\).
II. Когда \((7 - x) < 0\) и \((3x - 3) < 0\):
В этом случае \(x > 7\) и \(x < 1\). Такого значения \(x\) не существует.
III. Когда \((7 - x) > 0\) и \((3x - 3) < 0\), или наоборот:
Для этого надо рассмотреть два подслучая:
III.1 Когда \((7 - x) > 0\) и \((3x - 3) < 0\):
Отсюда получаем \(x < 7\) и \(x < 1\). Совмещая эти два условия, получаем \(x < 1\).
III.2 Когда \((7 - x) < 0\) и \((3x - 3) > 0\):
Тогда \(x > 7\) и \(x > 1\). Снова совмещаем эти два условия, получаем \(x > 7\).
Таким образом, мы получили три интервала, удовлетворяющих исходному неравенству: \(1 < x < 7\), \(x < 1\) и \(x > 7\).
2. Найдем среднее арифметическое целых решений:
Чтобы найти целые решения, подставим значения из интервалов в исходное неравенство и определим их.
Подставляя значения из интервала \(1 < x < 7\), получаем неравенство \((7 - x)(3x - 3) > 0\). Если мы рассмотрим все целые значения \(x\) в этом интервале, то у нас будут следующие целые решения: \(x = 2, 3, 4, 5, 6\).
Подставляя значения из интервала \(x < 1\), неравенство превращается в \((7 - x)(3x - 3) > 0\). В данном случае, нет целых решений.
Подставляя значения из интервала \(x > 7\), также не получим целых решений.
Теперь найдем среднее арифметическое целых решений, которые мы нашли. Вычислим сумму целых чисел \(2 + 3 + 4 + 5 + 6 = 20\), а затем разделим эту сумму на количество чисел, т.е. \(20 / 5 = 4\). Таким образом, среднее арифметическое целых решений равно 4.
3. Найдем сумму десяти первых членов арифметической прогрессии:
У нас есть первый член \(a_3 = 5\) и разность \(d = 3\). Чтобы найти сумму десяти первых членов арифметической прогрессии, воспользуемся формулой:
\[S = \frac{n}{2}(2a_1 + (n - 1)d)\]
где \(S\) - сумма первых \(n\) членов, \(a_1\) - первый член, \(d\) - разность.
Подставляем известные значения в формулу:
\[S = \frac{10}{2}(2 \cdot 5 + (10 - 1) \cdot 3)\]
Упрощаем выражение:
\[S = 5(10 + 9 \cdot 3)\]
\[S = 5(10 + 27)\]
\[S = 5(37)\]
\[S = 185\]
Таким образом, сумма десяти первых членов арифметической прогрессии равна 185.
4. Найдем сумму пяти первых членов геометрической прогрессии:
У нас есть третий член \(b_3 = 18\) и знаменатель \(q = 3\). Чтобы найти сумму пяти первых членов геометрической прогрессии, воспользуемся формулой:
\[S = \frac{a_1(q^n - 1)}{q - 1}\]
где \(S\) - сумма первых \(n\) членов, \(a_1\) - первый член, \(q\) - знаменатель.
Подставляем известные значения в формулу:
\[S = \frac{b_1(q^5 - 1)}{q - 1}\]
Мы знаем, что третий член \(b_3\) равен \(18\). Таким образом, четвертый член \(b_4\) равен \(18 \cdot q\), а пятый член \(b_5\) равен \(18 \cdot q^2\). Мы можем использовать эти значения для составления уравнения:
\[18 \cdot q^2 = 18 \cdot q \cdot q^2\]
Подставляем значения в формулу и упрощаем выражение:
\[S = \frac{18(q^5 - 1)}{q - 1}\]
\[S = \frac{18(q \cdot q^4 - 1)}{q - 1}\]
\[S = \frac{18(q^5 - 1)}{q - 1}\]
\[S = 18 \cdot \frac{q^5 - 1}{q - 1}\]
Таким образом, сумма пяти первых членов геометрической прогрессии равна \(18 \cdot \frac{q^5 - 1}{q - 1}\).
5. Найдем количество первых членов прогрессии, чтобы их сумма была равна 84:
Мы знаем, что первый член арифметической прогрессии \(a_1\) равен \(-4\), а разность \(d\) равна \(2\). Чтобы найти количество первых членов, подставим известные значения в формулу для суммы членов арифметической прогрессии:
\[S = \frac{n}{2}(2a_1 + (n - 1)d)\]
Мы хотим, чтобы сумма первых членов равнялась \(84\), поэтому подставляем \(S = 84\):
\[84 = \frac{n}{2}(2 \cdot (-4) + (n - 1) \cdot 2)\]
Упрощаем выражение:
\[84 = n(-8 + 2n - 2)\]
\[84 = n(2n - 10)\]
\[84 = 2n^2 - 10n\]
\[2n^2 - 10n - 84 = 0\]
Решим это квадратное уравнение с помощью квадратного корня:
\[n = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\]
Подставим значения \(a = 2\), \(b = -10\) и \(c = -84\):
\[n = \frac{-(-10) \pm \sqrt{(-10)^2 - 4 \cdot 2 \cdot -84}}{2 \cdot 2}\]
\[n = \frac{10 \pm \sqrt{100 + 672}}{4}\]
\[n = \frac{10 \pm \sqrt{772}}{4}\]
\[n = \frac{10 \pm \sqrt{4 \cdot 193}}{4}\]
\[n = \frac{10 \pm 2\sqrt{193}}{4}\]
\[n = \frac{5 \pm \sqrt{193}}{2}\]
Таким образом, получаем два решения: \(n = \frac{5 + \sqrt{193}}{2}\) и \(n = \frac{5 - \sqrt{193}}{2}\). Однако, в данном случае, количество первых членов прогрессии должно быть целым числом, поэтому нам подходит только решение \(n = \frac{5 + \sqrt{193}}{2}\).
6. Определим при каких значениях \(\boldsymbol{x}\) числа 1, \(\boldsymbol{x^2}\), \(\boldsymbol{6 - x^2}\), взятые в указанном порядке, образуют геометрическую прогрессию. Найдите эти числа:
Чтобы узнать, образуют ли указанные числа геометрическую прогрессию, необходимо проверить, выполняется ли для них условие отношения равенства. Запишем соотношение для геометрической прогрессии:
\(\frac{b}{a} = \frac{c}{b}\),
где \(a\), \(b\), \(c\) - первый, второй и третий члены прогрессии соответственно.
В нашем случае, \(a = 1\), \(b = x^2\) и \(c = 6 - x^2\). Заметим, что при \(x = 0\) отношение становится некорректным, так как в знаменателе появляется ноль. Поэтому исключим это значение.
Подставляем эти значения в отношение:
\(\frac{x^2}{1} = \frac{6 - x^2}{x^2}\),
Упрощаем выражение:
\(x^4 = 6 - x^2\),
\(x^4 + x^2 - 6 = 0\).
Теперь решим это кубическое уравнение:
\((x^2 - 2)(x^2 + 3) = 0\).
Отсюда получаем два возможных значения \(x\): \(x = \sqrt{2}\) и \(x = -\sqrt{2}\).
Таким образом, при значениях \(x = \sqrt{2}\) и \(x = -\sqrt{2}\) числа 1, \(x^2\) и \(6 - x^2\) образуют геометрическую прогрессию. Эти числа равны 1, 2 и 4 соответственно.
1. Решение неравенства (7 - х)(3х - 3) > 0:
Для начала найдем значения \(x\), для которых выражение \((7 - x)(3x - 3)\) равно нулю. Из этого можно сделать вывод, что одно из множителей равно нулю. Решая уравнения \((7 - x) = 0\) и \((3x - 3) = 0\), получим \(x = 7\) и \(x = 1\) соответственно.
Теперь разобьем исходное неравенство на интервалы. Рассмотрим три случая:
I. Когда \((7 - x) > 0\) и \((3x - 3) > 0\):
В данном случае \(x < 7\) и \(x > 1\). Объединив эти два условия, получаем \(1 < x < 7\).
II. Когда \((7 - x) < 0\) и \((3x - 3) < 0\):
В этом случае \(x > 7\) и \(x < 1\). Такого значения \(x\) не существует.
III. Когда \((7 - x) > 0\) и \((3x - 3) < 0\), или наоборот:
Для этого надо рассмотреть два подслучая:
III.1 Когда \((7 - x) > 0\) и \((3x - 3) < 0\):
Отсюда получаем \(x < 7\) и \(x < 1\). Совмещая эти два условия, получаем \(x < 1\).
III.2 Когда \((7 - x) < 0\) и \((3x - 3) > 0\):
Тогда \(x > 7\) и \(x > 1\). Снова совмещаем эти два условия, получаем \(x > 7\).
Таким образом, мы получили три интервала, удовлетворяющих исходному неравенству: \(1 < x < 7\), \(x < 1\) и \(x > 7\).
2. Найдем среднее арифметическое целых решений:
Чтобы найти целые решения, подставим значения из интервалов в исходное неравенство и определим их.
Подставляя значения из интервала \(1 < x < 7\), получаем неравенство \((7 - x)(3x - 3) > 0\). Если мы рассмотрим все целые значения \(x\) в этом интервале, то у нас будут следующие целые решения: \(x = 2, 3, 4, 5, 6\).
Подставляя значения из интервала \(x < 1\), неравенство превращается в \((7 - x)(3x - 3) > 0\). В данном случае, нет целых решений.
Подставляя значения из интервала \(x > 7\), также не получим целых решений.
Теперь найдем среднее арифметическое целых решений, которые мы нашли. Вычислим сумму целых чисел \(2 + 3 + 4 + 5 + 6 = 20\), а затем разделим эту сумму на количество чисел, т.е. \(20 / 5 = 4\). Таким образом, среднее арифметическое целых решений равно 4.
3. Найдем сумму десяти первых членов арифметической прогрессии:
У нас есть первый член \(a_3 = 5\) и разность \(d = 3\). Чтобы найти сумму десяти первых членов арифметической прогрессии, воспользуемся формулой:
\[S = \frac{n}{2}(2a_1 + (n - 1)d)\]
где \(S\) - сумма первых \(n\) членов, \(a_1\) - первый член, \(d\) - разность.
Подставляем известные значения в формулу:
\[S = \frac{10}{2}(2 \cdot 5 + (10 - 1) \cdot 3)\]
Упрощаем выражение:
\[S = 5(10 + 9 \cdot 3)\]
\[S = 5(10 + 27)\]
\[S = 5(37)\]
\[S = 185\]
Таким образом, сумма десяти первых членов арифметической прогрессии равна 185.
4. Найдем сумму пяти первых членов геометрической прогрессии:
У нас есть третий член \(b_3 = 18\) и знаменатель \(q = 3\). Чтобы найти сумму пяти первых членов геометрической прогрессии, воспользуемся формулой:
\[S = \frac{a_1(q^n - 1)}{q - 1}\]
где \(S\) - сумма первых \(n\) членов, \(a_1\) - первый член, \(q\) - знаменатель.
Подставляем известные значения в формулу:
\[S = \frac{b_1(q^5 - 1)}{q - 1}\]
Мы знаем, что третий член \(b_3\) равен \(18\). Таким образом, четвертый член \(b_4\) равен \(18 \cdot q\), а пятый член \(b_5\) равен \(18 \cdot q^2\). Мы можем использовать эти значения для составления уравнения:
\[18 \cdot q^2 = 18 \cdot q \cdot q^2\]
Подставляем значения в формулу и упрощаем выражение:
\[S = \frac{18(q^5 - 1)}{q - 1}\]
\[S = \frac{18(q \cdot q^4 - 1)}{q - 1}\]
\[S = \frac{18(q^5 - 1)}{q - 1}\]
\[S = 18 \cdot \frac{q^5 - 1}{q - 1}\]
Таким образом, сумма пяти первых членов геометрической прогрессии равна \(18 \cdot \frac{q^5 - 1}{q - 1}\).
5. Найдем количество первых членов прогрессии, чтобы их сумма была равна 84:
Мы знаем, что первый член арифметической прогрессии \(a_1\) равен \(-4\), а разность \(d\) равна \(2\). Чтобы найти количество первых членов, подставим известные значения в формулу для суммы членов арифметической прогрессии:
\[S = \frac{n}{2}(2a_1 + (n - 1)d)\]
Мы хотим, чтобы сумма первых членов равнялась \(84\), поэтому подставляем \(S = 84\):
\[84 = \frac{n}{2}(2 \cdot (-4) + (n - 1) \cdot 2)\]
Упрощаем выражение:
\[84 = n(-8 + 2n - 2)\]
\[84 = n(2n - 10)\]
\[84 = 2n^2 - 10n\]
\[2n^2 - 10n - 84 = 0\]
Решим это квадратное уравнение с помощью квадратного корня:
\[n = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\]
Подставим значения \(a = 2\), \(b = -10\) и \(c = -84\):
\[n = \frac{-(-10) \pm \sqrt{(-10)^2 - 4 \cdot 2 \cdot -84}}{2 \cdot 2}\]
\[n = \frac{10 \pm \sqrt{100 + 672}}{4}\]
\[n = \frac{10 \pm \sqrt{772}}{4}\]
\[n = \frac{10 \pm \sqrt{4 \cdot 193}}{4}\]
\[n = \frac{10 \pm 2\sqrt{193}}{4}\]
\[n = \frac{5 \pm \sqrt{193}}{2}\]
Таким образом, получаем два решения: \(n = \frac{5 + \sqrt{193}}{2}\) и \(n = \frac{5 - \sqrt{193}}{2}\). Однако, в данном случае, количество первых членов прогрессии должно быть целым числом, поэтому нам подходит только решение \(n = \frac{5 + \sqrt{193}}{2}\).
6. Определим при каких значениях \(\boldsymbol{x}\) числа 1, \(\boldsymbol{x^2}\), \(\boldsymbol{6 - x^2}\), взятые в указанном порядке, образуют геометрическую прогрессию. Найдите эти числа:
Чтобы узнать, образуют ли указанные числа геометрическую прогрессию, необходимо проверить, выполняется ли для них условие отношения равенства. Запишем соотношение для геометрической прогрессии:
\(\frac{b}{a} = \frac{c}{b}\),
где \(a\), \(b\), \(c\) - первый, второй и третий члены прогрессии соответственно.
В нашем случае, \(a = 1\), \(b = x^2\) и \(c = 6 - x^2\). Заметим, что при \(x = 0\) отношение становится некорректным, так как в знаменателе появляется ноль. Поэтому исключим это значение.
Подставляем эти значения в отношение:
\(\frac{x^2}{1} = \frac{6 - x^2}{x^2}\),
Упрощаем выражение:
\(x^4 = 6 - x^2\),
\(x^4 + x^2 - 6 = 0\).
Теперь решим это кубическое уравнение:
\((x^2 - 2)(x^2 + 3) = 0\).
Отсюда получаем два возможных значения \(x\): \(x = \sqrt{2}\) и \(x = -\sqrt{2}\).
Таким образом, при значениях \(x = \sqrt{2}\) и \(x = -\sqrt{2}\) числа 1, \(x^2\) и \(6 - x^2\) образуют геометрическую прогрессию. Эти числа равны 1, 2 и 4 соответственно.
Знаешь ответ?
О проекте
Мы такая же школота как ты ;)
Предметы
Русский язык- Математика
- Геометрия
- Музыка
- История
- Экономика
- Литература
- Алгебра
- Другие предметы
- Физика
- Информатика
- Обществознание
- География
- Немецкий язык
- Химия
- Английский язык
- Психология
- Українська мова
- Окружающий мир
- Биология
- Беларуская мова
- Қазақ тiлi
- Право
- ОБЖ
- Українська література
- МХК
- Французский язык
