Решить уравнение 1/8log2 (x-2)^8 + log2 (x+4) = 3. Есть фото

Хорошо, я помогу вам решить данное уравнение шаг за шагом.

1. Для начала перепишем уравнение, чтобы избавиться от логарифмов с основанием 2. Мы знаем, что \(\log_a b = \frac{{\log_c b}}{{\log_c a}}\), поэтому мы можем записать:

\[\frac{{1}}{{8}}\log_2 (x-2)^8 + \log_2 (x+4) = 3\]

\[\Rightarrow \frac{{1}}{{8}} \cdot \frac{{\log (x-2)^8}}{{\log 2}} + \frac{{\log (x+4)}}{{\log 2}} = 3\]

2. Теперь упростим выражение в левой части. Возводя \(x-2\) в степень 8, мы умножаем логарифм на 8:

\[\frac{{8 \log (x-2)}}{{8 \log 2}} + \frac{{\log (x+4)}}{{\log 2}} = 3\]

\[\Rightarrow \frac{{\log (x-2)}}{{\log 2}} + \frac{{\log (x+4)}}{{\log 2}} = 3\]

3. Складываем два логарифма с общим основанием:

\[\frac{{\log (x-2) + \log (x+4)}}{{\log 2}} = 3\]

4. Применим свойство логарифмов \(\log_a b + \log_a c = \log_a (b \cdot c)\):

\[\frac{{\log ((x-2) \cdot (x+4))}}{{\log 2}} = 3\]

5. Домножаем обе части уравнения на \(\log 2\):

\[\log ((x-2) \cdot (x+4)) = 3 \cdot \log 2\]

6. Теперь мы можем применить обратную функцию логарифма и записать данное уравнение в экспоненциальной форме:

\[(x-2) \cdot (x+4) = 2^3\]

\[(x-2) \cdot (x+4) = 8\]

7. Раскрываем скобки:

\(x^2 + 4x - 2x - 8 = 8\)

\(x^2 + 2x - 8 = 8\)

8. Переносим все члены в одну сторону:

\(x^2 + 2x - 8 - 8 = 0\)

\(x^2 + 2x - 16 = 0\)

9. Теперь мы можем решить уравнение путем факторизации, использования квадратного корня или применения квадратного уравнения. В данном случае, факторизация удобна:

\((x+4)(x-4) = 0\)

10. Для того, чтобы равенство было верным, один из множителей должен быть равен нулю:

\(x+4 = 0\) или \(x-4 = 0\)

11. Решаем эти уравнения:

\(x = -4\) или \(x = 4\)

Ответ: уравнение имеет два решения: \(x = -4\) и \(x = 4\).

Надеюсь, что объяснение было понятным и полезным для вас. Если у вас есть еще вопросы, не стесняйтесь задавать!