Решение задач 9, 11 и 15 с объяснением

вам с решением задач. Давайте начнем с первой задачи.

Задача 9: В ящике лежат 6 белых, 4 красных и 5 синих шаров. Вытаскивают 3 шара. Какова вероятность того, что среди них окажутся хотя бы 2 красных шара?

Решение:
Для решения этой задачи нам необходимо рассмотреть два варианта: когда из трех вытянутых шаров 2 будут красными, и когда все три будут красными.

1. Случай, когда из трех шаров 2 окажутся красными:
Мы можем выбрать 2 красных шара из 4 имеющихся следующим образом:
C₂₄ = (4!)/(2!(4-2)!) = (4!)/(2!2!) = (4*3)/(2*1) = 6 способами.
Также нам необходимо выбрать 1 шар из оставшихся 11 не-красных шаров:
C₁₁ = (11!)/(1!(11-1)!) = (11!)/(1!10!) = 11 способами.
Общее количество возможных комбинаций выборки 3 шаров:
C₁₅ = (15!)/(3!(15-3)!) = (15!)/(3!12!) = 455 способами.

Таким образом, вероятность того, что из трех выбранных шаров ровно 2 будут красными, равна (6*11)/455 = 66/455.

2. Случай, когда из трех шаров все 3 будут красными:
Мы можем выбрать 3 красных шара из 4 имеющихся следующим образом:
C₃₄ = (4!)/(3!(4-3)!) = (4!)/(3!1!) = 4 способами.
Также нам необходимо выбрать 0 шаров из оставшихся 11 не-красных шаров (потому что их уже не осталось):
C₀¹¹ = (1!)/(0!(1-0)!) = 1 способ.
Общее количество возможных комбинаций выборки 3 шаров (которые могут быть любого цвета):
C₁₅ = (15!)/(3!(15-3)!) = (15!)/(3!12!) = 455 способами.

Таким образом, вероятность того, что из трех выбранных шаров все 3 будут красными, равна (4*1)/455 = 4/455.

Теперь мы можем сложить оба случая:
P = (66/455) + (4/455) = 70/455 = 14/91.

Ответ: Вероятность того, что среди трех выбранных шаров будет хотя бы 2 красных, равна 14/91.

Теперь перейдем ко второй задаче.

Задача 11: Число, состоящее из двух цифр, записали, а затем приписали справа и слева по одной цифре, образовав трехзначное число 959. Найдите исходное двузначное число.

Решение:
Пусть исходное число состоит из цифр A и B. Тогда, согласно условию задачи, трехзначное число можно записать как 100A + 10B + 100B + A = 101A + 110B.
Из условия также следует, что это трехзначное число равно 959. Поэтому уравнение принимает вид:
101A + 110B = 959.

Для нахождения решений этого уравнения воспользуемся подходом перебора:
Попробуем различные значения для цифр A и B, начиная с A = 1 и постепенно увеличивая A и B до 9.

1. Пусть A = 1, тогда получаем уравнение 101 + 110B = 959.
Решив его, найдем B = 8. Значит, исходное число равно 18.

2. Пусть A = 2, тогда получаем уравнение 202 + 110B = 959.
Решив его, найдем B = 7. Значит, исходное число равно 27.

3. Пусть A = 3, тогда получаем уравнение 303 + 110B = 959.
Решив его, найдем B = 6. Значит, исходное число равно 36.

Таким образом, исходное двузначное число может быть 18, 27 или 36.

Теперь перейдем к третьей задаче.

Задача 15: Проверьте, является ли число 697 простым.

Решение:
Для проверки того, является ли число 697 простым, нужно выполнить несколько шагов.

1. Проверим, делится ли 697 на 2. Если остаток от деления числа 697 на 2 равен нулю, то число не является простым. В противном случае продолжаем проверку.

697 % 2 = 1. Остаток не равен нулю, поэтому продолжаем проверку.

2. Проверим, делится ли 697 на 3. Если остаток от деления числа 697 на 3 равен нулю, то число не является простым. В противном случае продолжаем проверку.

Сложим цифры числа 697: 6 + 9 + 7 = 22. Остаток от деления числа 22 на 3 равен 1. Остаток не равен нулю, поэтому продолжаем проверку.

3. Проверим, делится ли 697 на следующие простые числа: 5, 7, 11, 13, 17 и 19. Если оно делится хотя бы на одно из этих чисел, то число 697 не является простым.

697 % 5 = 2. Остаток не равен нулю.
697 % 7 = 3. Остаток не равен нулю.
697 % 11 = 8. Остаток не равен нулю.
697 % 13 = 10. Остаток не равен нулю.
697 % 17 = 4. Остаток не равен нулю.
697 % 19 = 13. Остаток не равен нулю.

Поскольку число 697 не делится ни на одно из простых чисел, мы можем сделать вывод, что число 697 является простым.

Ответ: Да, число 697 является простым.