Разложить многочлен 10х³ + х² +10х +1 на множители и найти его значение при х

Хорошо, давайте решим вашу задачу. У нас есть многочлен 10х³ + х² + 10х + 1, и мы хотим разложить его на множители и найти его значение при некотором значении х.

Для начала, давайте посмотрим, можно ли выделить общий множитель в данном многочлене. В данном случае общий множитель отсутствует, поэтому мы должны использовать другие методы разложения многочлена на множители.

Один из таких методов - это попробовать найти корни многочлена и использовать их в разложении на множители по теореме Безу. Для этого мы можем использовать теорему о рациональных корнях.

Теорема о рациональных корнях гласит, что если многочлен имеет рациональный корень p/q (где p и q - взаимно простые числа), то p является делителем свободного члена (в данном случае 1), а q - делителем коэффициента старшего члена (в данном случае 10).

Поэтому, чтобы найти возможные рациональные корни, мы можем применить метод подстановки и проверить различные комбинации делителей свободного члена и коэффициента старшего члена многочлена. В данном случае, возможные рациональные корни будут:

-1, -1/2, 1, 1/2, 1/5, 1/10, -1/5, -1/10

Мы можем проверить каждый из этих корней, чтобы узнать, являются ли они корнями нашего многочлена.

Давайте начнем с корня -1. Подставим -1 в наш многочлен и проверим, равно ли оно нулю.

10*(-1)³ + (-1)² + 10*(-1) + 1 = -10 + 1 - 10 + 1 = -18

Таким образом, -1 не является корнем нашего многочлена.

Продолжим тестировать другие корни и выясним, какой из них является корнем.

С помощью данного метода мы можем найти корень -1/2. Подставим -1/2 в наш многочлен и проверим, равно ли оно нулю.

10*(-1/2)³ + (-1/2)² + 10*(-1/2) + 1 = -5/4 + 1/4 - 5 + 1 = -4

Таким образом, -1/2 является корнем нашего многочлена.

Из этого следует, что х + 1/2 - это множитель нашего многочлена.

Теперь, чтобы разложить наш многочлен полностью, мы можем применить деление многочленов. Поделим 10х³ + х² + 10х + 1 на х + 1/2 с использованием синтетического деления или обычного деления многочленов.

Я предпочитаю использовать обычное деление многочленов для более наглядного результат.

2х² + 3х - 4
___________________
х + 1/2 | 10х³ + х² + 10х + 1
- 10х³ + 5х²
_________________
- 4х² + 10х + 1
+ 4х² + 2х
________________
12х + 1

Таким образом, после деления мы получаем результат:

10х³ + х² + 10х + 1 = (х + 1/2)(2х² + 3х - 4) + (12х + 1)

Таким образом, мы разложили многочлен 10х³ + х² + 10х + 1 на множители: (х + 1/2)(2х² + 3х - 4) + (12х + 1).

Теперь, чтобы найти значение многочлена при значении х, нам нужно просто подставить этот х в наш разложенный многочлен.

Например, если х = 2, то:

10х³ + х² + 10х + 1 = (2 + 1/2)(2*2² + 3*2 - 4) + (12*2 + 1)
= (2 + 1/2)(8 + 6 - 4) + (24 + 1)
= (2 + 1/2)(10) + 25
= 25 + 25
= 50

Таким образом, при х = 2, значение многочлена 10х³ + х² + 10х + 1 равно 50.

Я надеюсь, что этот подробный и пошаговый ответ помог вам понять, как разложить данный многочлен на множители и найти его значение при некотором значении х. Если у вас возникли дополнительные вопросы, пожалуйста, не стесняйтесь задавать их!