Яка величина знаменника геометричної прогресії, якщо добуток перших трьох членів (bn) дорівнює 64, а сьомий член

Щоб розв"язати цю задачу, спочатку давайте знайдемо перший член (b₁) та знаменник (q) геометричної прогресії. А потім, використовуючи знайдені значення, знайдемо потрібний знаменник.

Дано, що добуток перших трьох членів геометричної прогресії (b₁, b₂, b₃) дорівнює 64. Ми можемо записати це як:

$$\begin{array}{}\text{(1)}& b₁\cdot b₂\cdot b₃=64\end{array}$$

Також відомо, що сьомий член геометричної прогресії (b₇) дорівнює 128.

Нам відомо, що кожний наступний член геометричної прогресії можна отримати множенням попереднього члена на знаменник (q). Тобто, ми можемо записати:

$$b₂=b₁\cdot q\text{та}b₃=b₂\cdot q\text{(залежно від попереднього члена)}$$

Аналогічно, для сьомого члена:

$$b₇=b₆\cdot q$$

Ми знаємо, що b₇ = 128, тому ми можемо записати:

$$\begin{array}{}\text{(2)}& 128=b₆\cdot q\end{array}$$

Тепер ми можемо використати вираз b₁ \cdot b₂ \cdot b₃ = 64 з (1) для знаходження значення b₂:

$$b₁\cdot (b₁\cdot q)\cdot (b₁\cdot q\cdot q)=64$$

$$b₁³\cdot q³=64$$

$$b₁³\cdot q³=2⁶$$

Ми бачимо, що якщо ми представимо 64 як степінь числа 2, це буде 2⁶. Тому ми можемо записати:

$$b₁³\cdot q³=2⁶$$

$$b₁³\cdot q³=(2²)³$$

$$b₁³\cdot q³=2²³$$

Тепер, зважаючи на добуток цілих чисел, ми можемо записати:

$$b₁³\cdot q³=(2²)³$$

$$b₁³\cdot q³=2^{(}2\cdot 3)$$

$$b₁³\cdot q³=2⁶$$

Роблячи обидві частини рівняння до степені ₁/₃, отримуємо:

$$(b₁³\cdot q³{)}^{(}1/₃)=(2⁶{)}^{(}1/₃)$$

Також, за властивостями степенів, ми маємо:

$$(b₁³{)}^{(}1/₃)\cdot (q³{)}^{(}1/₃)=2^2$$

$$b₁\cdot q=2^2$$

$$\begin{array}{}\text{(3)}& b₁\cdot q=4\end{array}$$

Ми також знаємо, що b₇ = 128, отже, ми можемо записати:

$$128=b₆\cdot q$$

$$128=(b₁\cdot q⁵)\cdot q$$

Тепер, замість q у цьому виразі, вставимо значення з (3):

$$128=(b₁\cdot 4⁵)\cdot 4$$

$$128=b₁\cdot 4⁶$$

$$128=(2^2)\cdot 4⁴⁶$$

$$128=2^{(}2+4)\cdot 4⁴$$

$$128=2^6\cdot 4⁴$$

$$128=(2²)⁶\cdot 2⁸$$

За допомогою властивостей степенів, ми маємо:

$$128=2²⁶\cdot 2⁸$$

$$128=2^{(}2+6)\cdot 2⁸$$

$$128=2^8\cdot 2⁸$$

$$128=2^{(}8+8)$$

Ми бачимо, що 128 можна подати як степінь числа 2, а саме: 2²⁸.

Тепер, порівнюючи це з рівнянням b₁ \cdot q = 4 з (3), ми бачимо, що:

2²⁸ = b₁ \cdot q

Оскільки ми знаємо, що 2²⁸ = 4 \cdot 2⁸, ми можемо записати:

4 \cdot 2⁸ = b₁ \cdot q

Або:

2²⁹ = b₁ \cdot q

Таким чином, знаменник геометричної прогресії дорівнює 2²⁹, що є величиною знаменника.