Яка величина знаменника геометричної прогресії, якщо добуток перших трьох членів (bn) дорівнює 64, а сьомий член

Щоб розв"язати цю задачу, спочатку давайте знайдемо перший член (b₁) та знаменник (q) геометричної прогресії. А потім, використовуючи знайдені значення, знайдемо потрібний знаменник.

Дано, що добуток перших трьох членів геометричної прогресії (b₁, b₂, b₃) дорівнює 64. Ми можемо записати це як:

\[b₁ \cdot b₂ \cdot b₃ = 64 \tag{1}\]

Також відомо, що сьомий член геометричної прогресії (b₇) дорівнює 128.

Нам відомо, що кожний наступний член геометричної прогресії можна отримати множенням попереднього члена на знаменник (q). Тобто, ми можемо записати:

\[b₂ = b₁ \cdot q \quad \text{та} \quad b₃ = b₂ \cdot q \quad \text{(залежно від попереднього члена)}\]

Аналогічно, для сьомого члена:

\[b₇ = b₆ \cdot q\]

Ми знаємо, що b₇ = 128, тому ми можемо записати:

\[128 = b₆ \cdot q \tag{2}\]

Тепер ми можемо використати вираз b₁ \cdot b₂ \cdot b₃ = 64 з (1) для знаходження значення b₂:

\[b₁ \cdot (b₁ \cdot q) \cdot (b₁ \cdot q \cdot q) = 64\]

\[b₁³ \cdot q³ = 64\]

\[b₁³ \cdot q³ = 2⁶\]

Ми бачимо, що якщо ми представимо 64 як степінь числа 2, це буде 2⁶. Тому ми можемо записати:

\[b₁³ \cdot q³ = 2⁶\]

\[b₁³ \cdot q³ = (2²)³\]

\[b₁³ \cdot q³ = 2²³\]

Тепер, зважаючи на добуток цілих чисел, ми можемо записати:

\[b₁³ \cdot q³ = (2²)³\]

\[b₁³ \cdot q³ = 2^(2\cdot3)\]

\[b₁³ \cdot q³ = 2⁶\]

Роблячи обидві частини рівняння до степені ₁/₃, отримуємо:

\[(b₁³ \cdot q³)^(1/₃) = (2⁶)^(1/₃)\]

Також, за властивостями степенів, ми маємо:

\[(b₁³)^(1/₃) \cdot (q³)^(1/₃) = 2^2\]

\[b₁ \cdot q = 2^2\]

\[b₁ \cdot q = 4 \tag{3}\]

Ми також знаємо, що b₇ = 128, отже, ми можемо записати:

\[128 = b₆ \cdot q\]

\[128 = (b₁ \cdot q⁵) \cdot q\]

Тепер, замість q у цьому виразі, вставимо значення з (3):

\[128 = (b₁ \cdot 4⁵) \cdot 4\]

\[128 = b₁ \cdot 4⁶\]

\[128 = (2^2) \cdot 4⁴⁶\]

\[128 = 2^(2+4) \cdot 4⁴\]

\[128 = 2^6 \cdot 4⁴\]

\[128 = (2²)⁶ \cdot 2⁸\]

За допомогою властивостей степенів, ми маємо:

\[128 = 2²⁶ \cdot 2⁸\]

\[128 = 2^(2+6) \cdot 2⁸\]

\[128 = 2^8 \cdot 2⁸\]

\[128 = 2^(8+8)\]

Ми бачимо, що 128 можна подати як степінь числа 2, а саме: 2²⁸.

Тепер, порівнюючи це з рівнянням b₁ \cdot q = 4 з (3), ми бачимо, що:

2²⁸ = b₁ \cdot q

Оскільки ми знаємо, що 2²⁸ = 4 \cdot 2⁸, ми можемо записати:

4 \cdot 2⁸ = b₁ \cdot q

Або:

2²⁹ = b₁ \cdot q

Таким чином, знаменник геометричної прогресії дорівнює 2²⁹, що є величиною знаменника.