Пусть N - натуральное число. Найдите наименьшее N, для которого произведение всех его натуральных делителей (включая

Чтобы решить данную задачу, мы должны найти наименьшее натуральное число N, у которого произведение всех его натуральных делителей (включая само число) делится на \(2^{134}\).

Давайте разберемся, как найти это число поэтапно.

1. Произведение всех натуральных делителей числа N может быть записано в виде \(N^{\frac{d(N)+1}{2}}\), где \(d(N)\) - количество делителей числа N. Нам нужно, чтобы данное произведение делилось на \(2^{134}\).
2. Разложим \(2^{134}\) на простые множители: \(2^{134} = 2^2 \cdot 2^{132} = 2^2 \cdot (2^2)^{33} = 4 \cdot (4^{33})\).
3. Теперь нам известно, что произведение всех натуральных делителей числа N должно делиться на \(4 \cdot (4^{33})\).
4. Количество делителей числа N равно \((\alpha + 1) \cdot (\beta + 1) \cdot (\gamma + 1) \cdot \ldots\), где \(\alpha, \beta, \gamma, \ldots\) - степени простых чисел в разложении N на простые множители.
5. Поскольку мы ищем наименьшее N, для которого произведение делителей делится на \(4 \cdot (4^{33})\), нам нужно выбрать наименьшие значения \(\alpha, \beta, \gamma, \ldots\), чтобы получить наименьшее произведение делителей.

Теперь мы можем найти наименьшее число N, удовлетворяющее условию задачи:

1. Из условия задачи известно, что произведение всех делителей числа N делится на \(4 \cdot (4^{33})\).
2. Равенство \((\alpha + 1) \cdot (\beta + 1) \cdot (\gamma + 1) \cdot \ldots = 4 \cdot (4^{33})\) дает нам набор простых чисел и их степеней:
\(\alpha + 1 = 4\),
\(\beta + 1 = 4\),
\(\gamma + 1 = 33\),
\(\ldots\)

чтобы получить наименьший результат, возьмем минимальные значения для \(\alpha, \beta, \gamma, \ldots\):
\(\alpha = 3\),
\(\beta = 3\),
\(\gamma = 32\),
\(\ldots\)

3. Теперь найдем наименьшее значение N, используя полученные значения степеней простых чисел:
\(N = 2^{\alpha} \cdot 3^{\beta} \cdot 5^{\gamma} \cdot \ldots\),
\(N = 2^3 \cdot 3^3 \cdot 5^{32} \cdot \ldots\)

Произведение всех натуральных делителей числа N будет равно:
\(N^{\frac{d(N)+1}{2}} = (2^3 \cdot 3^3 \cdot 5^{32} \cdot \ldots)^{\frac{(3+1)(3+1)(32+1)\ldots}{2}}\)

Обозначим \((2^3 \cdot 3^3 \cdot 5^{32} \cdot \ldots)^{\frac{(3+1)(3+1)(32+1)\ldots}{2}}\) как \(M\) для удобства.

4. Теперь найдем четыре последние цифры числа M:
\(M = (2^3 \cdot 3^3 \cdot 5^{32} \cdot \ldots)^{\frac{(3+1)(3+1)(32+1)\ldots}{2}}\)

\(M = (2^3 \cdot 3^3 \cdot 5^{32} \cdot \ldots)^{\frac{(4)(4)(33)\ldots}{2}}\)

\(M = (2^3)^2 \cdot (3^3)^2 \cdot (5^{32})^{2} \cdot \ldots\)

\(M = 64 \cdot 729 \cdot 5256 \cdot \ldots\)

\(M = 296150476\)

Ответ: Четыре последние цифры числа N равны 0476.