Проверьте ответы на следующие вопросы: 1) В клубе есть 25 спортсменов. Сколько команд из четырех человек можно

\(n = 25\) числа размещений. Для этого воспользуемся формулой размещений \(n = \frac{{25!}}{{(25-4)!}} = \frac{{25!}}{{21!}}\).

По формуле \(n! = n \cdot (n-1) \cdot (n-2) \cdot \ldots \cdot 2 \cdot 1\), мы можем упростить эту формулу:

\(\frac{{25!}}{{21!}} = 25 \cdot 24 \cdot 23 \cdot 22\).

Следовательно, количество команд из четырех спортсменов, которые можно сформировать для участия в четырехэтапной эстафете, где порядок пробега имеет значение, равно \(303600\).

Теперь рассмотрим второй вопрос.

Нам нужно определить, сколько трехзначных чисел можно составить из цифр 1, 2, 3, 4 и 0 (каждая цифра может использоваться только один раз).

Первая цифра может быть любой из чисел 1, 2, 3 или 4 (исключая 0). Таким образом, у нас есть 4 варианта для первой цифры.

Вторая цифра может быть любой из чисел 1, 2, 3, 4 (исключая первую цифру). Таким образом, у нас есть 4 варианта для второй цифры.

Третья цифра может быть любой из чисел 1, 2, 3 (исключая 1 и 2, так как мы уже использовали их в качестве первой и второй цифры).

По правилу умножения, общее количество трехзначных чисел, которые можно составить из заданных цифр, равно \(4 \cdot 4 \cdot 3 = 48\).

Перейдем к третьему вопросу.

У нас есть уравнение, в котором нужно найти решение: размещение из \((x-1)\) элементов по \(5\).

Чтобы найти решение, нам нужно определить значение \(x\).

Поскольку размещения определяются формулой \(n!\), где \(n\) - количество элементов, мы можем записать данное размещение как \(\frac{{(x-1)!}}{{(x-5)!}}\).

Теперь мы можем упростить выражение:

\(\frac{{(x-1)!}}{{(x-5)!}} = \frac{{(x-1) \cdot (x-2) \cdot (x-3) \cdot (x-4) \cdot (x-5)!}}{{(x-5)!}}\).

Заметим, что \((x-5)!\) в числителе и знаменателе сокращаются, и у нас остается только \((x-1) \cdot (x-2) \cdot (x-3) \cdot (x-4)\).

Таким образом, решение данного уравнения равно \((x-1) \cdot (x-2) \cdot (x-3) \cdot (x-4)\).