Проведите анализ выпуклости функции f(x) = x^6/30-3x^4

Для проведения анализа выпуклости функции \(f(x) = \frac{{x^6}}{{30}} - 3x^4\) нам понадобятся первая и вторая производные этой функции. Давайте начнем с вычисления первой производной.

1. Найдем первую производную функции \(f(x)\):
\[
f"(x) = \frac{{d}}{{dx}}\left(\frac{{x^6}}{{30}} - 3x^4\right)
\]

Для нахождения производной функции распространим дифференцирование на каждый моном:

\[
f"(x) = \frac{1}{30}\cdot\frac{{d}}{{dx}}(x^6) - \frac{d}{dx}(3x^4)
\]

Применим правило дифференцирования степенной функции и константы:

\[
f"(x) = \frac{1}{30}(6x^5) - 12x^3
\]

Упростим выражение:

\[
f"(x) = \frac{1}{5}x^5 - 12x^3
\]

Теперь мы получили первую производную функции \(f(x)\). Перейдем к нахождению второй производной для проведения анализа выпуклости.

2. Найдем вторую производную функции \(f(x)\):

Для нахождения второй производной возьмем производную от первой производной:

\[
f""(x) = \frac{{d}}{{dx}}\left(\frac{1}{5}x^5 - 12x^3\right)
\]

Производная каждого монома:

\[
f""(x) = \frac{1}{5}\cdot\frac{{d}}{{dx}}(x^5) - \frac{{d}}{{dx}}(12x^3)
\]

Применим правило дифференцирования степенной функции и константы:

\[
f""(x) = \frac{1}{5}(5x^4) - 36x^2
\]

Упростим выражение:

\[
f""(x) = x^4 - 36x^2
\]

Теперь, когда у нас есть вторая производная \(f""(x)\), мы можем проанализировать выпуклость функции \(f(x)\).

3. Анализ выпуклости функции \(f(x)\):

Чтобы определить выпуклость функции \(f(x)\), нужно проанализировать знак второй производной \(f""(x)\).

Заметим, что вторая производная представляет собой разность двух слагаемых: \(x^4\) и \(36x^2\).

Если вторая производная \(f""(x)\) больше нуля для всех \(x\), то функция \(f(x)\) будет выпуклой вверх.

Если вторая производная \(f""(x)\) меньше нуля для всех \(x\), то функция \(f(x)\) будет выпуклой вниз.

Если вторая производная меняет знак в некоторой точке, то функция \(f(x)\) будет иметь точку перегиба.

Давайте разберем все эти случаи подробнее:

a) Для нашей функции \(f(x) = \frac{{x^6}}{{30}} - 3x^4\) найдем точки, в которых вторая производная равна нулю. Решим уравнение:

\[
x^4 - 36x^2 = 0
\]

Мы можем разложить это уравнение на множители:

\[
x^2(x^2 - 36) = 0
\]

Теперь найдем значения \(x\), при которых \(x^2 = 0\) или \(x^2 - 36 = 0\):

- \(x^2 = 0\) дает единственное решение \(x = 0\).
- \(x^2 - 36 = 0\) дает два решения: \(x = -6\) и \(x = 6\).

b) Теперь проанализируем знак второй производной в интервалах, образованных найденными точками.

Для значения x между \(-\infty\) и \(-6\) (не включая -6), вторая производная \(f""(x)\) будет положительной. То есть \(f""(x) > 0\) в этом интервале.

Для значения x между \(-6\) и \(0\) (не включая 0), вторая производная \(f""(x)\) будет отрицательной. То есть \(f""(x) < 0\) в этом интервале.

Для значения x между \(0\) и \(6\) (не включая 6), вторая производная \(f""(x)\) снова будет положительной. То есть \(f""(x) > 0\) в этом интервале.

Для значения x больше 6, вторая производная \(f""(x)\) снова становится отрицательной. То есть \(f""(x) < 0\) в этом интервале.

4. Теперь мы можем сделать окончательные выводы о выпуклости функции \(f(x)\):

- Для значений x между \(-\infty\) и \(-6\), функция \(f(x)\) будет выпуклой вверх.
- Для значений x между \(-6\) и \(0\), функция \(f(x)\) будет выпуклой вниз.
- Для значений x между \(0\) и \(6\), функция \(f(x)\) снова будет выпуклой вверх.
- Для значений x больше 6, функция \(f(x)\) снова будет выпуклой вниз.

Таким образом, функция \(f(x) = \frac{{x^6}}{{30}} - 3x^4\) имеет точку перегиба в точке \(x = -6\) и разделяет области выпуклости вверх и вниз.