проведено площину через край радіуса кулі під кутом 30 градусів. Якою буде площа перерізу кулі цією площиною, якщо

Давайте решим эту задачу.

У нас есть куля радиусом \( r \), и через ее край проведена плоскость под углом 30 градусов. Мы хотим найти площадь сечения кули этой плоскостью.

Первым шагом, нужно найти высоту сечения кули этой плоскостью. Высота сечения - это расстояние от центра кули до плоскости. В этом случае, высота сечения будет равна прямой \( h \), которую мы можем вычислить с помощью тригонометрии.

Мы знаем, что угол между радиусом кули и плоскостью равен 30 градусов. А также нам известен радиус кули \( r \).

Если мы нарисуем треугольник, в котором стороной будет радиус \( r \), а противолежащим углом будет 30 градусов, то мы можем применить тригонометрическую функцию синуса, чтобы найти высоту \( h \):

\[
\sin(30^\circ) = \frac{h}{r}
\]

Решая это уравнение относительно \( h \), мы получаем:

\[
h = r \cdot \sin(30^\circ)
\]

Теперь у нас есть высота сечения кули. Чтобы найти площадь сечения, нам нужно умножить высоту на периметр сечения. Но для нахождения периметра нам нужна длина дуги, которую ограничивает это сечение.

Длина дуги можно вычислить с помощью формулы:

\[
\text{{длина дуги}} = 2\pi \cdot r \cdot \frac{{30^\circ}}{{360^\circ}}
\]

где \( 2\pi \cdot r \) - это полный окружностной периметр кули, а \( \frac{{30^\circ}}{{360^\circ}} \) - это отношение угла сечения к полному углу.

Теперь мы можем найти периметр сечения, умножив длину дуги на полурасстояние, то есть на \( r \):

\[
\text{{периметр сечения}} = 2\pi \cdot r \cdot \frac{{30^\circ}}{{360^\circ}} \cdot r
\]

И, наконец, мы можем найти площадь сечения, умножив высоту на периметр:

\[
\text{{площадь сечения}} = h \cdot \text{{периметр сечения}}
\]

Подставляя выражения для \( h \) и \( \text{{периметр сечения}} \), получаем:

\[
\text{{площадь сечения}} = r \cdot \sin(30^\circ) \cdot 2\pi \cdot r \cdot \frac{{30^\circ}}{{360^\circ}}
\]

Вот как можно подробно решить эту задачу.