Просмотрите представленные доказательства и заполните пропущенные части

Конечно! Я помогу вам с задачей. Предлагаю рассмотреть давольно интересный пример доказательства теоремы о сумме первых \(n\) натуральных чисел по индукции.

Теорема: Для любого натурального числа \(n\), сумма первых \(n\) натуральных чисел равна \(\frac{{n \cdot (n+1)}}{2}\).

Доказательство по индукции имеет два шага: базис и шаг индукции. Начнем с базиса.

Базис: Для \(n=1\) утверждение теоремы справедливо. Действительно, сумма первого натурального числа будет равна самому этому числу: \(1 = \frac{{1 \cdot (1+1)}}{2}\).

Теперь перейдем к шагу индукции, где мы предполагаем, что утверждение выполняется для \(n=k\), и покажем, что оно верно для \(n=k+1\).

Предположение индукции: Для \(n=k\), сумма первых \(k\) натуральных чисел равна \(\frac{{k \cdot (k+1)}}{2}\).

Шаг индукции: Теперь вычислим сумму первых \(k+1\) натуральных чисел. Обозначим эту сумму как \(S_{k+1}\):

\[S_{k+1} = 1 + 2 + 3 + ... + k + (k+1).\]

Мы можем заметить, что эту сумму можно разделить на две части: сумму первых \(k\) натуральных чисел (\(S_k\)), которая уже известна, и \(k+1\). То есть:

\[S_{k+1} = S_k + (k+1).\]

Используя предположение индукции, мы можем заменить \(S_k\) на \(\frac{{k \cdot (k+1)}}{2}\):

\[S_{k+1} = \frac{{k \cdot (k+1)}}{2} + (k+1).\]

Общий знаменатель в правой части равен \(\frac{2 \cdot k}{2}\), поэтому можно объединить числители:

\[S_{k+1} = \frac{{k \cdot (k+1) + 2 \cdot (k+1)}}{2}.\]

Упрощая выражение, получим:

\[S_{k+1} = \frac{{k^2 + 3k + 2}}{2}.\]

Возможно упростить числитель тем, что он может быть разложен на произведение:

\[S_{k+1} = \frac{{(k+1) \cdot (k+2)}}{2}.\]

Итак, мы получили \(S_{k+1}\) в том же виде, что и в теореме, что и требовалось доказать.

Таким образом, по принципу математической индукции, утверждение теоремы верно для всех натуральных чисел \(n\).

Такое доказательство позволяет установить верность формулы для суммы первых \(n\) натуральных чисел, а также дает пошаговое объяснение каждого шага доказательства для понимания школьником.