Просмотрите представленные доказательства и заполните пропущенные части

Конечно! Я помогу вам с задачей. Предлагаю рассмотреть давольно интересный пример доказательства теоремы о сумме первых $n$ натуральных чисел по индукции.

Теорема: Для любого натурального числа $n$, сумма первых $n$ натуральных чисел равна $\frac{n\cdot (n+1)}{2}$.

Доказательство по индукции имеет два шага: базис и шаг индукции. Начнем с базиса.

Базис: Для $n=1$ утверждение теоремы справедливо. Действительно, сумма первого натурального числа будет равна самому этому числу: $1=\frac{1\cdot (1+1)}{2}$.

Теперь перейдем к шагу индукции, где мы предполагаем, что утверждение выполняется для $n=k$, и покажем, что оно верно для $n=k+1$.

Предположение индукции: Для $n=k$, сумма первых $k$ натуральных чисел равна $\frac{k\cdot (k+1)}{2}$.

Шаг индукции: Теперь вычислим сумму первых $k+1$ натуральных чисел. Обозначим эту сумму как $S_{k+1}$:

$$S_{k+1}=1+2+3+...+k+(k+1).$$

Мы можем заметить, что эту сумму можно разделить на две части: сумму первых $k$ натуральных чисел ($S_k$), которая уже известна, и $k+1$. То есть:

$$S_{k+1}=S_k+(k+1).$$

Используя предположение индукции, мы можем заменить $S_k$ на $\frac{k\cdot (k+1)}{2}$:

$$S_{k+1}=\frac{k\cdot (k+1)}{2}+(k+1).$$

Общий знаменатель в правой части равен $\frac{2\cdot k}{2}$, поэтому можно объединить числители:

$$S_{k+1}=\frac{k\cdot (k+1)+2\cdot (k+1)}{2}.$$

Упрощая выражение, получим:

$$S_{k+1}=\frac{k^2+3k+2}{2}.$$

Возможно упростить числитель тем, что он может быть разложен на произведение:

$$S_{k+1}=\frac{(k+1)\cdot (k+2)}{2}.$$

Итак, мы получили $S_{k+1}$ в том же виде, что и в теореме, что и требовалось доказать.

Таким образом, по принципу математической индукции, утверждение теоремы верно для всех натуральных чисел $n$.

Такое доказательство позволяет установить верность формулы для суммы первых $n$ натуральных чисел, а также дает пошаговое объяснение каждого шага доказательства для понимания школьником.