Произведите вычисление производной функции f(x) для заданного значения аргумента

Конечно! Для вычисления производной функции \(f(x)\) в точке \(x_0\) мы можем использовать определение производной. Определение производной гласит, что производная функции в точке \(x_0\) равна пределу отношения изменения функции к изменению аргумента, когда аргумент стремится к \(x_0\). Формула для определения производной функции выглядит следующим образом:

\[f"(x) = \lim_{{h \to 0}} \frac{{f(x_0 + h) - f(x_0)}}{h}\]

Давайте применим это определение к задаче. Предположим, у нас есть функция \(f(x)\), и мы хотим вычислить её производную в точке \(x_0\). Для начала найдём значения функции в точках \(x_0\) и \(x_0 + h\). Затем найдём разность \(f(x_0 + h) - f(x_0)\) и разделим её на \(h\). Наконец, возьмём предел этого отношения при \(h\) стремящемся к нулю.

Давайте рассмотрим пример. Пусть у нас есть функция \(f(x) = x^2\), и мы хотим вычислить производную этой функции в точке \(x = 2\). Применяя формулу определения производной, получим:

\[f"(x) = \lim_{{h \to 0}} \frac{{(x_0 + h)^2 - x_0^2}}{h}\]

Подставим \(x_0 = 2\) и упростим выражение:

\[f"(2) = \lim_{{h \to 0}} \frac{{(2 + h)^2 - 2^2}}{h}\]

\[f"(2) = \lim_{{h \to 0}} \frac{{(4 + 4h + h^2) - 4}}{h}\]

\[f"(2) = \lim_{{h \to 0}} \frac{{4h + h^2}}{h}\]

Теперь мы можем сократить на \(h\) и вычислить предел:

\[f"(2) = \lim_{{h \to 0}} (4 + h)\]

Возьмём предел:

\[f"(2) = 4 + 0 = 4\]

Таким образом, производная функции \(f(x) = x^2\) в точке \(x = 2\) равна 4.

Надеюсь, этот пошаговый пример помог вам понять, как вычислить производную функции для заданного значения аргумента. Если у вас есть ещё вопросы, пожалуйста, не стесняйтесь задавать!