Продукуйте, будь ласка, повне рішення цих двох задач. Задача 9. Точка М поділяє сторону АС трикутника АВС на відрізки

Задача 9:
Розглянемо дану задачу про трикутник ABC.

Ми знаємо, що точка М поділяє сторону АС на два відрізки: АМ з довжиною 7 і СМ з довжиною 3.

Також дано, що через точку М проведено пряму, паралельну стороні ВС, і ця пряма перетинає сторону АВ у точці Е.

Далі, через точку Е проведено другу пряму, паралельну прямій ВМ.

Нам потрібно знайти співвідношення, в якому ця друга пряма поділяє сторону АС.

Для вирішення задачі скористаємося теоремою Безу. Згідно з цією теоремою, якщо дві паралельні прямі перерізають дві сторони трикутника, то ділини цих сторін мають однакові співвідношення.

Застосуємо цю теорему до нашої задачі. Позначимо точку перетину другої паралельної прямої зі стороною АС як F.

Таким чином, співвідношення АМ:MF має довільне значення k:1 (де k - додатне число).

Застосуємо тепер трикутникове подіління відрізка АС від точки М до точки F. Ділимо сторону таким чином: АМ відноситься до МF як 7 до k, а МF відноситься до СF як k до 3.

Тепер ми можемо записати це співвідношення:
\[\frac{AM}{MF}= \frac{7}{k}\]
\[\frac{MF}{CF} = \frac{k}{3}\]

За теоремою Безу маємо рівність:
\[\frac{7}{k} = \frac{k}{3}\]

Домножаємо обидві частини рівності на 3k:
\[7 \cdot 3k = k \cdot k\]
\[21k = k^2\]

Переносимо все в один бік рівняння:
\[k^2 - 21k = 0\]

Факторизуємо рівняння:
\[k(k - 21) = 0\]

Маємо два розв"язки: k = 0 або k = 21. Однак, ми шукаємо додатне число, тому відкидаємо k = 0.

Таким чином, k = 21.

Отже, співвідношення, в якому друга пряма поділяє сторону АС, буде AM:MF = 7:21 або просто 1:3.

Відповідь: друга пряма поділяє сторону АС в співвідношенні 1:3.

Задача 11:
У даній задачі ми маємо трапецію ABCD, в якій точка E є серединою бічної сторони CD. Це означає, що діагоналі BD і AC перетинаються в точці E.

Ми також знаємо, що через вершину B проведено пряму, паралельну бічній стороні CD, і ця пряма перетинає відрізок AE у точці K.

Задача полягає в тому, щоб знайти співвідношення основ трапеції, якщо відношення AK:EK = 3:5.

Для вирішення цієї задачі використовуємо поділ внутрішньої точки відрізка пропорційно його зовнішнім ділянкам.

Так як точка E є серединою сторони CD, ми знаємо, що відрізок CE ділить сторону AD/BC навпіл.

Позначимо також довжини сторін AD і BC як a і b відповідно.

Застосовуємо тепер поділ внутрішньої точки для відрізку AC з точкою E і точкою K.

Зараз ми знаємо, що співвідношення AK:EK = 3:5. Це означає, що \(\frac{AK}{EK} = \frac{3}{5}\).

Так як зовнішня точка K знаходиться по один бік точки E, ми можемо записати співвідношення так: \(\frac{AE}{EK} = \frac{3}{2}\).

Оскільки точка E є серединою сторони CD, ми можемо записати співвідношення \(\frac{CE}{AE} = \frac{1}{1}\).

Застосовуючи тепер поділ внутрішньої точки для відрізка AB з точкою K і точкою E, ми отримуємо таке співвідношення:
\(\frac{AK}{EK} = \frac{BK}{CK}\).

Оскільки АK:EK = 3:5 з умови задачі, ми знаємо, що \(\frac{AK}{EK} = \frac{3}{5}\).

Замінюємо відповідні значення і отримуємо \(\frac{3}{5} = \frac{BK}{CK}\).

Зараз ми маємо дві рівності, які включають BK/CK.

Ми також знаємо, що сторона BC паралельна стороні AD, тому \(\frac{CE}{AE} = \frac{BC}{AD}\).

Оскільки CE:AE = 1:1, ми можемо записати співвідношення \(\frac{1}{1} = \frac{BC}{AD}\).

Тепер ми маємо дві рівності, що містять BK/CK і BC/AD.

Звідси ми можемо отримати таке співвідношення:
\(\frac{3}{5} = \frac{BC}{AD} = \frac{BK}{CK}\).

Таким чином, співвідношення основ трапеції дорівнює 3:5.

Відповідь: співвідношення основ трапеції дорівнює 3:5.