При якому значенні х дані вектори стають а) колінеарними; б) перпендикулярними?

Рад вас приветствовать! Данная задача относится к векторной алгебре, и мы рассмотрим два случая: коллинеарность и перпендикулярность векторов.

а) Коллинеарность векторов. Два вектора считаются коллинеарными, если они лежат на одной прямой или являются параллельными. Для двух векторов, скажем \(\mathbf{a}\) и \(\mathbf{b}\), они коллинеарны, если существует такое число \(k\), что \(\mathbf{b} = k\mathbf{a}\). В нашем случае, если векторы \(\mathbf{a}\) и \(\mathbf{b}\) коллинеарны, то они имеют одинаковое направление или противоположное направление.

Теперь решим уравнение \(\mathbf{b} = k\mathbf{a}\) для коллинеарности. Если у нас есть два вектора \(\mathbf{a} = \begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \\ \ldots \\ a_n \end{pmatrix}\) и \(\mathbf{b} = \begin{pmatrix} b_1 \\ b_2 \\ \ldots \\ b_n \end{pmatrix}\), где \(a_1, a_2, \ldots, a_n\) и \(b_1, b_2, \ldots, b_n\) - компоненты векторов, то это уравнение можно записать как:

\[
\begin{cases} b_1 = ka_1 \\ b_2 = ka_2 \\ \ldots \\ b_n = ka_n \end{cases}
\]

где \(k\) - коэффициент пропорциональности.

Таким образом, для коллинеарности векторов, все компоненты вектора \(\mathbf{b}\) должны быть пропорциональны компонентам вектора \(\mathbf{a}\). Иначе говоря, все компоненты вектора \(\mathbf{b}\) делятся на соответствующие компоненты вектора \(\mathbf{a}\) без остатка.

б) Перпендикулярность векторов. Два вектора считаются перпендикулярными, если их скалярное произведение равно нулю. Скалярное произведение двух векторов \(\mathbf{a} = \begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \\ \ldots \\ a_n \end{pmatrix}\) и \(\mathbf{b} = \begin{pmatrix} b_1 \\ b_2 \\ \ldots \\ b_n \end{pmatrix}\) определяется следующим образом:

\[
\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = a_1b_1 + a_2b_2 + \ldots + a_nb_n
\]

Теперь мы можем решить уравнение \(\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = 0\) для перпендикулярности. Если все компоненты векторов \(\mathbf{a}\) и \(\mathbf{b}\) известны, мы можем подставить их значения в уравнение и найти значение \(x\), при котором скалярное произведение равно нулю.

Например, если у нас есть два вектора \(\mathbf{a} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix}\) и \(\mathbf{b} = \begin{pmatrix} x \\ 4 \end{pmatrix}\), то скалярное произведение \(\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}\) равно \(1 \cdot x + 2 \cdot 4 = x + 8\). Чтобы найти значение \(x\), при котором \(\mathbf{a}\) и \(\mathbf{b}\) перпендикулярны, нужно решить уравнение \(x + 8 = 0\).

Следовательно, если \(\mathbf{a}\) и \(\mathbf{b}\) должны быть перпендикулярными, значение \(x\) должно быть равно -8.

Таким образом, чтобы векторы стали а) коллинеарными и б) перпендикулярными, необходимо знать полные условия задачи и значения всех компонент векторов. В приведенном выше примере, векторы становятся коллинеарными при любом значении \(x\), а перпендикулярными при \(x = -8\).