Найдите площадь треугольника LMQ, если известно, что AQ:QB=0,5 и BP:PC=0,75, где точки P и Q лежат на сторонах BC

Обозначим стороны параллелограмма ABCD следующим образом: AB = a, BC = b, AD = h. Площадь параллелограмма можно найти по формуле S = a * h.

Из условия задачи мы знаем, что AQ:QB = 0,5 и BP:PC = 0,75. Параллельность сторон AB и DC позволяет нам сделать следующий вывод: соотношение PQ:QD = PB:PC.

Из условия AQ:QB = 0,5, получаем, что QB = 0,5 * AQ.

Аналогично, из условия BP:PC = 0,75, получаем, что PC = 0,75 * PB.

С учетом этих соотношений, мы можем найти отношение PD:DQ. Имеем PD = PB + BD, где BD = AD - AB = h - a.

Таким образом, PD = PB + (h - a).

Подставляя PB = PC - CB = 0,75 * PB - b, получаем PD = (0,75 * PB - b) + (h - a) = 0,75 * PB + h - a - b.

Так как PQ:QD = PB:PC, то имеем PQ = (PB / PC) * PD.

Поэтому PQ = (PB / PC) * (0,75 * PB + h - a - b).

Из задачи известно, что точки L и M получены пересечением отрезков CQ и AP, и DQ и AP соответственно.

Таким образом, площадь треугольника LMQ можно найти как половину площади параллелограмма CQDA.

Сначала найдем высоту треугольника LMQ из точки M на сторону CQ.

Обозначим высоту треугольника LMQ через h_M и найдем ее значение.

h_M = (2 * площадь LMQ) / CQ.

Заметим, что площадь LMQ = (1/2) * PQ * h_M.

Теперь мы можем найти h_M.

h_M = (2 * площадь LMQ) / CQ = (2 * (1/2) * PQ * h_M) / CQ.

Решим это уравнение относительно h_M.

h_M = PQ * h_M / CQ.

Домножим обе части уравнения на CQ.

CQ * h_M = PQ * h_M.

Затем разделим обе части на h_M.

CQ = PQ.

Таким образом, мы получили, что CQ = PQ.

Из этого следует, что треугольник LMQ является равнобедренным треугольником.

Так как треугольник LMQ равнобедренный, то высота из вершины M опускается на основание LQ и делит его пополам.

То есть, ML = LQ / 2.

Теперь мы знаем, что стороны MQ и LQ равны, а сторона LM равна половине LQ.

Таким образом, чтобы найти площадь треугольника LMQ, нам нужно найти длину стороны LQ.

Обратимся к параллелограмму ABCD. У него площадь равна S = a * h.

Из геометрии параллелограмма ABCD следует, что высота AB на сторону BC равна высоте LQ на сторону CQ.

Поэтому h = h_LQ.

Таким образом, сторона LQ равна высоте параллелограмма ABCD.

Подводя итог, для нахождения площади треугольника LMQ, нужно найти высоту параллелограмма ABCD и разделить ее пополам.

Так что площадь треугольника LMQ равна половине площади параллелограмма ABCD.