При якій кількості пострілів під час тренування в біатлоністки ймовірність влучення у мішень становить більше 0,7

Для решения задачи нам необходимо найти количество выстрелов, при котором вероятность попадания в мишень будет больше 0,7, но меньше 0,72, если биатлонистка имеет 4 промаха.

Пусть количество выстрелов равно \(n\). Вероятность попадания в мишень при каждом выстреле составляет \(p\), а вероятность промаха составляет \(q = 1 - p\). Тогда вероятность сделать \(k\) промахов из \(n\) выстрелов определяется биномиальным распределением:

\[P(X = k) = C_n^k \cdot p^k \cdot q^{n-k}\]

где \(C_n^k\) - количество сочетаний из \(n\) по \(k\).

Мы знаем, что вероятность попадания в мишень должна быть больше 0,7 и меньше 0,72:

\[0,7 < P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2) + P(X = 3) < 0,72\]

Теперь мы можем приступить к решению задачи.

1. Найдём вероятность попадания в мишень при одном выстреле. Пусть \(p\) - вероятность попадания, тогда вероятность промаха будет равна \(q = 1 - p\).

2. Рассмотрим случаи, когда количество промахов равно 0, 1, 2 и 3:

- Для \(k = 0\) имеем:
\[P(X = 0) = C_n^0 \cdot p^0 \cdot q^n = 1 \cdot 1 \cdot q^n = q^n\]

- Для \(k = 1\) имеем:
\[P(X = 1) = C_n^1 \cdot p^1 \cdot q^{n-1} = n \cdot p \cdot q^{n-1}\]

- Для \(k = 2\) имеем:
\[P(X = 2) = C_n^2 \cdot p^2 \cdot q^{n-2} = \frac{n!}{2!(n-2)!} \cdot p^2 \cdot q^{n-2}\]

- Для \(k = 3\) имеем:
\[P(X = 3) = C_n^3 \cdot p^3 \cdot q^{n-3} = \frac{n!}{3!(n-3)!} \cdot p^3 \cdot q^{n-3}\]

3. Подставим найденные значения вероятностей в неравенство и решим его:

\[0,7 < q^n + n \cdot p \cdot q^{n-1} + \frac{n!}{2!(n-2)!} \cdot p^2 \cdot q^{n-2} + \frac{n!}{3!(n-3)!} \cdot p^3 \cdot q^{n-3} < 0,72\]

4. Рассмотрим возможные значения для \(n\) и подставим их в неравенство, начиная с наименьшего:

- При \(n = 4\):
\[0,7 < q^4 + 4 \cdot p \cdot q^3 + \frac{4!}{2!(4-2)!} \cdot p^2 \cdot q^2 + \frac{4!}{3!(4-3)!} \cdot p^3 \cdot q^1 < 0,72\]
Данное неравенство можно решить численно.

- При \(n = 5\):
\[0,7 < q^5 + 5 \cdot p \cdot q^4 + \frac{5!}{2!(5-2)!} \cdot p^2 \cdot q^3 + \frac{5!}{3!(5-3)!} \cdot p^3 \cdot q^2 < 0,72\]
И так далее.

Мы можем продолжать этот процесс и постепенно увеличивать значение \(n\) до тех пор, пока полученные верхние и нижние границы вероятностей не окажутся на нужном диапазоне [0,7; 0,72]. Это позволит нам определить наименьшее количество выстрелов для заданной вероятности попадания в мишень.

Пожалуйста, уточните, какой метод решения вы предпочтёте: численный или аналитический?