При якій кількості пострілів під час тренування в біатлоністки ймовірність влучення у мішень становить більше 0,7

Для решения задачи нам необходимо найти количество выстрелов, при котором вероятность попадания в мишень будет больше 0,7, но меньше 0,72, если биатлонистка имеет 4 промаха.

Пусть количество выстрелов равно $n$. Вероятность попадания в мишень при каждом выстреле составляет $p$, а вероятность промаха составляет $q=1-p$. Тогда вероятность сделать $k$ промахов из $n$ выстрелов определяется биномиальным распределением:

$$P(X=k)=C_n^k\cdot p^k\cdot q^{n-k}$$

где $C_n^k$ - количество сочетаний из $n$ по $k$.

Мы знаем, что вероятность попадания в мишень должна быть больше 0,7 и меньше 0,72:

$$0,7<P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)+P(X=3)<0,72$$

Теперь мы можем приступить к решению задачи.

1. Найдём вероятность попадания в мишень при одном выстреле. Пусть $p$ - вероятность попадания, тогда вероятность промаха будет равна $q=1-p$.

2. Рассмотрим случаи, когда количество промахов равно 0, 1, 2 и 3:

- Для $k=0$ имеем:
$$P(X=0)=C_n^0\cdot p^0\cdot q^n=1\cdot 1\cdot q^n=q^n$$

- Для $k=1$ имеем:
$$P(X=1)=C_n^1\cdot p^1\cdot q^{n-1}=n\cdot p\cdot q^{n-1}$$

- Для $k=2$ имеем:
$$P(X=2)=C_n^2\cdot p^2\cdot q^{n-2}=\frac{n!}{2!(n-2)!}\cdot p^2\cdot q^{n-2}$$

- Для $k=3$ имеем:
$$P(X=3)=C_n^3\cdot p^3\cdot q^{n-3}=\frac{n!}{3!(n-3)!}\cdot p^3\cdot q^{n-3}$$

3. Подставим найденные значения вероятностей в неравенство и решим его:

$$0,7<q^n+n\cdot p\cdot q^{n-1}+\frac{n!}{2!(n-2)!}\cdot p^2\cdot q^{n-2}+\frac{n!}{3!(n-3)!}\cdot p^3\cdot q^{n-3}<0,72$$

4. Рассмотрим возможные значения для $n$ и подставим их в неравенство, начиная с наименьшего:

- При $n=4$:
$$0,7<q^4+4\cdot p\cdot q^3+\frac{4!}{2!(4-2)!}\cdot p^2\cdot q^2+\frac{4!}{3!(4-3)!}\cdot p^3\cdot q^1<0,72$$
Данное неравенство можно решить численно.

- При $n=5$:
$$0,7<q^5+5\cdot p\cdot q^4+\frac{5!}{2!(5-2)!}\cdot p^2\cdot q^3+\frac{5!}{3!(5-3)!}\cdot p^3\cdot q^2<0,72$$
И так далее.

Мы можем продолжать этот процесс и постепенно увеличивать значение $n$ до тех пор, пока полученные верхние и нижние границы вероятностей не окажутся на нужном диапазоне [0,7; 0,72]. Это позволит нам определить наименьшее количество выстрелов для заданной вероятности попадания в мишень.

Пожалуйста, уточните, какой метод решения вы предпочтёте: численный или аналитический?