При яких значеннях х числа х-2, х+1 і 5х+1 утворюють геометричну прогресію з послідовними членами? А) 3 Б)-3 В)0,25

Для того чтобы найти значения \( x \), при которых числа \( x-2 \), \( x+1 \) и \( 5x+1 \) образуют геометрическую прогрессию, мы можем использовать следующий подход.

Геометрическая прогрессия - это последовательность чисел, в которой каждое последующее число получается умножением предыдущего на одно и то же число, называемое знаменателем прогрессии.

Давайте выразим отношения между этими числами:

Для чисел \( x-2 \) и \( x+1 \), отношение между ними будет \(\frac{{x+1}}{{x-2}}\).

Для чисел \( x+1 \) и \( 5x+1 \), отношение между ними будет \(\frac{{5x+1}}{{x+1}}\).

Таким образом, условие геометрической прогрессии может быть записано в виде:

\(\frac{{x+1}}{{x-2}} = \frac{{5x+1}}{{x+1}}\)

Давайте решим эту уравнение пошагово:

\(\begin{align*} (x+1)(x+1) &= (5x+1)(x-2) \quad \text{умножим обе части уравнения на знаменатель} \\ x^2 + 2x + 1 &= 5x^2 - 9x - 2 \quad \text{раскроем скобки} \\ x^2 - 3x - 3 &= 0 \quad \text{перенесем все члены влево} \\ (x - 3)(x + 1) &= 0 \quad \text{факторизуем выражение} \end{align*}\)

Таким образом, у нас есть два решения для этого уравнения: \( x = 3 \) и \( x = -1 \).

Проверим каждое решение:

1) При \( x = 3 \):

Числа \( x-2 \), \( x+1 \) и \( 5x+1 \) равны соответственно: 1, 4 и 16. Давайте проверим, являются ли они членами геометрической прогрессии:

Отношение между 1 и 4 равно \(\frac{4}{1} = 4\).

Отношение между 4 и 16 также равно \(\frac{16}{4} = 4\).

Видим, что отношение между последовательными членами равно. Поэтому при \( x = 3 \), числа \( x-2 \), \( x+1 \) и \( 5x+1 \) образуют геометрическую прогрессию.

2) При \( x = -1 \):

Числа \( x-2 \), \( x+1 \) и \( 5x+1 \) равны соответственно: -3, 0 и -4. Давайте проверим, являются ли они членами геометрической прогрессии:

Отношение между -3 и 0 равно \(\frac{0}{-3} = 0\).

Отношение между 0 и -4 также равно \(\frac{-4}{0}\). Обратите внимание, что здесь мы получаем деление на ноль, что является недопустимым. Поэтому при \( x = -1 \), числа \( x-2 \), \( x+1 \) и \( 5x+1 \) не образуют геометрическую прогрессию.

Таким образом, решением задачи будет ответ: \( x = 3 \).