При яких x числа x-3, x+1, 4x+9 будуть утворювати геометричну прогресію? Будь ласка, вказати набір значень

Для решения этой задачи нам необходимо проверить, при каких значениях \(x\) числа \(x-3\), \(x+1\) и \(4x+9\) будут образовывать геометрическую прогрессию.

Геометрическая прогрессия - это последовательность чисел, в которой каждое следующее число получается умножением предыдущего числа на одно и то же постоянное число, называемое знаменателем прогрессии.

Для определения значения знаменателя прогрессии, мы можем сравнить отношения последовательных членов. Если отношение всех трех членов будет одинаковым, то они образуют геометрическую прогрессию.

Давайте составим уравнение для отношения:

\[
\frac{{x+1}}{{x-3}} = \frac{{4x+9}}{{x+1}}
\]

Теперь решим это уравнение, чтобы найти значения \(x\), при которых это уравнение будет выполняться.

Умножим обе части уравнения на \((x-3)(x+1)\) для устранения знаменателей:

\[
(x+1)(x+1) = (4x+9)(x-3)
\]

Раскроем скобки:

\[
x^2 + 2x + 1 = 4x^2 - 3x - 27
\]

Приведем подобные члены:

\[
0 = 3x^2 - 5x - 28
\]

Давайте решим это квадратное уравнение.

Мы можем решить его, используя формулу дискриминанта:

Дискриминант \(\Delta\) квадратного уравнения \(ax^2 + bx + c = 0\) вычисляется по формуле \(\Delta = b^2 - 4ac\).

Если дискриминант \(\Delta\) больше нуля, то уравнение имеет два различных корня; если дискриминант равен нулю, то уравнение имеет один корень; если дискриминант меньше нуля, то уравнение не имеет действительных корней.

В нашем уравнении \(ax^2 + bx + c = 0\) коэффициенты \(a = 3\), \(b = -5\) и \(c = -28\).

Теперь вычислим значение дискриминанта:

\[
\Delta = (-5)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-28) = 25 + 336 = 361
\]

Так как дискриминант \(\Delta\) больше нуля, то у нас два различных корня.

Теперь воспользуемся формулой для нахождения корней квадратного уравнения:

\[
x = \frac{{-b \pm \sqrt{\Delta}}}{{2a}}
\]

Подставим значения коэффициентов \(a = 3\), \(b = -5\) и \(\Delta = 361\) в формулу:

\[
x = \frac{{5 \pm \sqrt{361}}}{{2 \cdot 3}}
\]

Упростим:

\[
x = \frac{{5 \pm 19}}{{6}}
\]

Теперь найдем значения \(x\) решением двух уравнений:

1) При \(x = \frac{{5 + 19}}{{6}}\):

\[
x = \frac{{24}}{{6}} = 4
\]

2) При \(x = \frac{{5 - 19}}{{6}}\):

\[
x = \frac{{-14}}{{6}} = -\frac{{7}}{{3}}
\]

Таким образом, числа \(x-3\), \(x+1\) и \(4x+9\) будут образовывать геометрическую прогрессию при значениях \(x = 4\) и \(x = -\frac{{7}}{{3}}\).