Сколько сторон у правильного n-угольника, если количество проведенных диагоналей равно 136?

Для решения данной задачи, давайте воспользуемся формулой для вычисления количества диагоналей в правильном n-угольнике:

\[d = \frac{n \cdot (n-3)}{2}\]

где \(d\) - количество диагоналей, а \(n\) - количество сторон у многоугольника.

Мы знаем, что количество диагоналей равно 136. Подставим это значение в формулу и решим уравнение относительно \(n\):

\[136 = \frac{n \cdot (n-3)}{2}\]

Для упрощения уравнения, умножим обе части на 2:

\[272 = n \cdot (n-3)\]

Раскроем скобки:

\[272 = n^2 - 3n\]

Перенесем все члены в одну сторону:

\[n^2 - 3n - 272 = 0\]

Теперь нужно решить полученное квадратное уравнение. Мы можем воспользоваться формулой дискриминанта:

\[D = b^2 - 4ac\]

где \(a = 1\), \(b = -3\), \(c = -272\). Вычислим значение дискриминанта:

\[D = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-272) = 9 + 1088 = 1097\]

Уравнение имеет два корня:

\[n_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{3 + \sqrt{1097}}{2}\]
\[n_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{3 - \sqrt{1097}}{2}\]

Таким образом, количество сторон у правильного n-угольника может быть либо \(\frac{3 + \sqrt{1097}}{2}\), либо \(\frac{3 - \sqrt{1097}}{2}\). Однако, число сторон не может быть дробным, так как это является геометрическим объектом. Также всегда предполагается, что количество сторон - целое число больше или равное 3.

Исходя из этого, мы можем сделать вывод, что количество сторон у правильного n-угольника может быть только натуральным числом. В данной задаче нам известно, что количество сторон и количество диагоналей - натуральные числа.

Таким образом, решение уравнения указывает на несуществование правильного n-угольника с заданными условиями. Ответ: невозможно определить количество сторон правильного n-угольника по заданному количеству диагоналей.