При каком значении выражения c^2+6c+9/c: (1+3/c) значение равно 1000?

Для решения данной задачи, нам необходимо найти значение переменной c, при котором выражение \(\frac{c^2+6c+9}{c}\) становится равным 1000.

Давайте разберемся с этим шаг за шагом:

1. Начнем с исходного выражения: \(\frac{c^2+6c+9}{c}\).
2. Чтобы упростить выражение, сначала разложим числитель на множители. Мы видим, что числитель является квадратным трехчленом и может быть разложен на множители как \((c+3)^2\).
3. Теперь наше выражение принимает вид \(\frac{(c+3)^2}{c}\).
4. Для упрощения дроби, мы можем разделить произведение суммы на разность:
\[\frac{((c+3)(c+3))}{c} = \frac{(c+3)(c+3)}{c} = \frac{(c+3)}{c} \cdot \frac{(c+3)}{c}.\]
5. Теперь мы имеем \(\frac{(c+3)}{c}\) в числителе и знаменателе. Как мы помним из математических свойств, \(\frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} = \frac{ac}{bd}\). Применяя это свойство, мы можем записать наше выражение как:
\[\frac{(c+3)(c+3)}{c} = \frac{(c+3) \cdot (c+3)}{c} = \frac{c^2 + 6c + 9}{c}.\]
6. Теперь у нас получается, что исходное выражение равно \(\frac{c^2+6c+9}{c}\).

Мы хотим найти значение переменной c, при котором это выражение равно 1000:

\[\frac{c^2+6c+9}{c} = 1000.\]

Давайте продолжим решать эту уравнение:

7. Умножим обе стороны уравнения на c, чтобы избавиться от знаменателя:
\[c^2+6c+9 = 1000c.\]
8. Теперь приведем уравнение к квадратному виду. Перенесем все термины в одну сторону:
\[c^2 + 6c - 1000c + 9 = 0.\]
9. Объединим подобные слагаемые:
\[c^2 - 994c + 9 = 0.\]
10. Мы получили квадратное уравнение, которое может быть решено с использованием различных методов, например, метода квадратного корня, формулы и дискриминанта. Но, чтобы избежать сложностей, в этом конкретном случае мы воспользуемся методом факторизации.

11. Мы ищем два числа, которые перемножаются, чтобы дать 9 и одновременно складываются, чтобы дать -994. Заметим, что -1 * -9 = 9 и -1 + (-9) = -10. Поэтому мы можем разложить -994c на сумму -9c и -985c:
\[c^2 - 9c - 985c + 9 = 0.\]
12. Теперь давайте распределим данный квадрат по парам:
\[(c^2 - 9c) + (- 985c + 9) = 0.\]
13. Приведем каждую пару в скобках:
\[c(c - 9) - 985(c - 9) = 0.\]
14. Обратите внимание, что у нас есть общий множитель (c - 9):
\[(c - 9)(c - 985) = 0.\]
15. Теперь мы можем применить свойство нулевого произведения: если произведение равно нулю, то хотя бы один из сомножителей должен быть равен нулю. Значит:
\[c - 9 = 0 \quad \text{или} \quad c - 985 = 0.\]

Теперь решим эти два уравнения:

16. Решим первое уравнение:
\[c - 9 = 0.\]
Добавим 9 к обеим сторонам уравнения:
\[c = 9.\]

17. Решим второе уравнение:
\[c - 985 = 0.\]
Добавим 985 к обеим сторонам уравнения:
\[c = 985.\]

Ответом на задачу являются два значения переменной c, которые удовлетворяют данному условию: \(c = 9\) и \(c = 985\).