При каком значении положительного n векторы (2n+2;1;2) и (n;0;-2) будут

Question

Геометрия: При каком значении положительного n векторы (2n+2;1;2) и (n;0;-2) будут ортогональными?

Dobryy_Lis · Accepted Answer

Хорошо, чтобы определить, при каком значении положительного

n

векторы

(2 n + 2, 1, 2)

и

(n, 0, - 2)

будут ортогональными, мы можем использовать определение ортогональности векторов.

Два вектора

a = (a_{1}, a_{2}, a_{3})

и

b = (b_{1}, b_{2}, b_{3})

называются ортогональными, если их скалярное произведение равно нулю:

a \cdot b = a_{1} b_{1} + a_{2} b_{2} + a_{3} b_{3} = 0

.

Применяя это определение к нашим векторам

(2 n + 2, 1, 2)

и

(n, 0, - 2)

, получаем следующее:

(2 n + 2) \cdot n + 1 \cdot 0 + 2 \cdot (- 2) = 0

.

Давайте решим это уравнение:

2 n^{2} + 2 n - 4 = 0

.

Мы можем разделить все коэффициенты на 2 для упрощения:

n^{2} + n - 2 = 0

.

Факторизуем это уравнение:

(n + 2) (n - 1) = 0

.

Теперь мы можем найти значения

n

, при которых уравнение выполняется:

n + 2 = 0

или

n - 1 = 0

.

Два возможных значения

n

будут:

n_{1} = - 2

и

n_{2} = 1

.

Таким образом, Векторы

(2 n + 2, 1, 2)

и

(n, 0, - 2)

будут ортогональными, когда

n

равно -2 или 1.

При каком значении положительного n векторы (2n+2;1;2) и (n;0;-2) будут ортогональными?