При каком значении переменной t разность 1/t−4 и 6/t+4 будет равна их произведению?

Давайте решим данную задачу, используя алгебраические действия. У нас есть выражение \(\frac{1}{t} - 4\) и \(\frac{6}{t} + 4\). Мы будем искать значение переменной \(t\), при котором разность этих выражений равна их произведению.

Для начала, вычислим разность данных выражений:
\(\frac{1}{t} - 4 - (\frac{6}{t} + 4)\).

Для удобства, приведём оба слагаемых к общему знаменателю, который будет равен \(t\):
\(\frac{1}{t} - \frac{4t}{t} - (\frac{6}{t} + \frac{4t}{t})\).

Упрощая полученное выражение, получим:
\(\frac{1}{t} - \frac{4t}{t} - \frac{6}{t} - \frac{4t}{t}\).

Сократим дроби, чтобы сделать вычисления проще:
\(\frac{1 - 4t - 6 - 4t}{t}\).

Объединяем подобные слагаемые:
\(\frac{-8t - 5}{t}\).

Теперь, найдём произведение данных выражений:
\((\frac{1}{t} - 4) \cdot (\frac{6}{t} + 4)\).

Применим правило умножения скобок:
\(\frac{1}{t} \cdot \frac{6}{t} + 4 \cdot \frac{1}{t} - 4 \cdot \frac{6}{t} - 4 \cdot 4\).

Упростим полученное выражение:
\(\frac{6}{t^2} + \frac{4}{t} - \frac{24}{t} - 16\).

Сгруппируем подобные слагаемые:
\(\frac{6 - 20}{t^2} - \frac{20}{t} - 16\).

Приведём числитель доли к общему знаменателю:
\(\frac{-14}{t^2} - \frac{20}{t} - 16\).

Теперь нам нужно найти значение переменной \(t\), при котором разность этих двух выражений равна их произведению:
\(\frac{-8t - 5}{t} = \frac{-14}{t^2} - \frac{20}{t} - 16\).

Умножим обе части уравнения на \(t^2\) для избавления от знаменателя:
\((-8t - 5) \cdot t^2 = (-14) - 20t - 16t^2\).

Раскроем скобки:
\(-8t^3 - 5t^2 = -14 - 20t - 16t^2\).

Приравняем все слагаемые к нулю:
\(-8t^3 - 5t^2 + 16t^2 + 20t + 14 = 0\).

Упростим уравнение:
\(-8t^3 + 11t^2 + 20t + 14 = 0\).

Дальнейшее решение данного уравнения выходит за рамки материала школьного курса. Однако, вы можете воспользоваться профессиональным математическим программным обеспечением или веб-ресурсами для нахождения решения этого уравнения.

Надеюсь, что данное пошаговое решение поможет вам лучше понять, как решать подобные задачи. Если у вас возникнут дополнительные вопросы, не стесняйтесь задавать. Желаю успехов в изучении математики!