1. Сколько способов можно выбрать двух мальчиков и трех девочек из 11 мальчиков и 9 девочек, чтобы оформить актовый

Конечно, я с радостью помогу вам с решением этих задач!

1. Для решения этой задачи, мы можем использовать комбинаторный подход. Чтобы найти количество способов выбрать двух мальчиков и трех девочек из 11 мальчиков и 9 девочек, мы можем использовать формулу для нахождения количества сочетаний без повторений:

\[
C(n,k) = \frac{{n!}}{{k!(n-k)!}}
\]

Где \(n\) - общее количество объектов, а \(k\) - количество объектов, которое мы выбираем.

Применяя эту формулу к нашей задаче, мы получаем:

\[
C(11,2) \cdot C(9,3) = \frac{{11!}}{{2!(11-2)!}} \cdot \frac{{9!}}{{3!(9-3)!}}
\]

\[
= \frac{{11!}}{{2! \cdot 9!}} \cdot \frac{{9!}}{{3! \cdot 6!}}
\]

\[
= \frac{{11!}}{{2! \cdot 3! \cdot 6!}}
\]

\[
= \frac{{11 \cdot 10 \cdot 9!}}{{2 \cdot 1 \cdot 3! \cdot 6!}}
\]

\[
= \frac{{11 \cdot 10}}{{2}}
\]

\[
= 55
\]

Итак, существует 55 способов выбрать двух мальчиков и трех девочек из данного множества.

2. Для вычисления \(c^4_{11} - c^5_{11}\), мы можем использовать формулу для нахождения числа сочетаний:

\[
C(n,k) = \frac{{n!}}{{k!(n-k)!}}
\]

Применяя эту формулу к нашей задаче, мы получаем:

\[
c^4_{11} = \frac{{11!}}{{4!(11-4)!}}
\]

\[
= \frac{{11!}}{{4! \cdot 7!}}
\]

\[
c^5_{11} = \frac{{11!}}{{5!(11-5)!}}
\]

\[
= \frac{{11!}}{{5! \cdot 6!}}
\]

Теперь, мы можем вычислить результат:

\[
c^4_{11} - c^5_{11} = \frac{{11!}}{{4! \cdot 7!}} - \frac{{11!}}{{5! \cdot 6!}}
\]

Общий знаменатель у нас будет \(4! \cdot 5! \cdot 6!\). После упрощения, мы получаем:

\[
\frac{{11! \cdot 5! - 11! \cdot 4!}}{{4! \cdot 5! \cdot 6!}}
\]

\[
= \frac{{11!}}{{4!}} \left( \frac{{5! - 4!}}{{5! \cdot 6!}} \right)
\]

\[
= \frac{{11!}}{{4!}} \left( \frac{{5!}}{{5! \cdot 6!}} - \frac{{4!}}{{5! \cdot 6!}} \right)
\]

\[
= \frac{{11!}}{{4!}} \left( \frac{{1}}{{6!}} - \frac{{1}}{{5! \cdot 6!}} \right)
\]

\[
= \frac{{11!}}{{4! \cdot 6!}} - \frac{{11!}}{{4! \cdot 5! \cdot 6!}}
\]

\[
= \frac{{11 \cdot 10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7!}}{{4! \cdot 6!}} - \frac{{11 \cdot 10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7!}}{{4! \cdot 5! \cdot 6!}}
\]

\[
= \frac{{11 \cdot 10 \cdot 9 \cdot 8}}{{4 \cdot 3 \cdot 2}} - \frac{{11 \cdot 10 \cdot 9 \cdot 8}}{{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 5}}
\]

\[
= 330 - 110
\]

\[
= 220
\]

Итак, результат \(c^4_{11}-c^5_{11}\) равен 220.

3. Пусть \(n\) - общее количество учеников в классе.

Количество способов выбрать трех дежурных равно:

\[
C(n,3)
\]

Количество способов выбрать двух дежурных равно:

\[
C(n,2)
\]

Из условия задачи известно, что количество способов выбрать трех дежурных в 9 раз больше, чем количество способов выбрать двух дежурных:

\[
C(n,3) = 9 \cdot C(n,2)
\]

Применяя формулу для нахождения числа сочетаний, получаем:

\[
\frac{{n!}}{{3!(n-3)!}} = 9 \cdot \frac{{n!}}{{2!(n-2)!}}
\]

Упрощая это уравнение, мы получаем:

\[
\frac{{n \cdot (n-1) \cdot (n-2)!}}{{3!}} = 9 \cdot \frac{{n \cdot (n-1) \cdot (n-2)!}}{{2!}}
\]

Отбрасывая общие множители, мы получаем:

\[
\frac{{1}}{{3!}} = 9 \cdot \frac{{1}}{{2!}}
\]

\[
\frac{{1}}{{6}} = 9 \cdot \frac{{1}}{{2}}
\]

\[
\frac{{1}}{{6}} = \frac{{9}}{{2}}
\]

Что является невозможной ситуацией. Поэтому задача не имеет решения. Выходит, что исходное условие неправильное или нет решения для количества учеников в классе, удовлетворяющее данному условию.

Если у вас возникнут вопросы, не стесняйтесь задавать!