При каком значении а прямая y=a+xln81 становится касательной к кривой y=9^x+2*3^x+1-ln81?

Для решения этой задачи необходимо найти значение \(a\), при котором прямая \(y = a + x\ln81\) будет касательной к кривой \(y = 9^x + 2 \cdot 3^x + 1 - \ln81\). Чтобы определить это значение, мы должны найти точку пересечения для этих двух функций.

Первым шагом найдем точку пересечения прямой и кривой. Для этого приравняем уравнения, чтобы получить:
\[a + x\ln81 = 9^x + 2 \cdot 3^x + 1 - \ln81\]

Чтобы продолжить решение, давайте найдем аналитическое решение для этого уравнения. Но прежде чем продолжить, давайте упростим его.

Перепишем уравнение, поместив все слагаемые содержащие \(x\) в одну часть, а все остальные в другую часть:
\[a + x\ln81 - 9^x - 2 \cdot 3^x = 1 - \ln81\]

Сейчас у нас есть уравнение вида \(a + bx = c\). Чтобы решить его по отношению к \(x\), давайте поделим обе части на \(x\), чтобы избавиться от коэффициента при \(x\):

\[\frac{{a + x\ln81 - 9^x - 2 \cdot 3^x}}{{x}} = \frac{{1 - \ln81}}{{x}}\]

Теперь найдем предел слева и справа от этого уравнения, когда \(x\) стремится к нулю.

\[\lim_{{x \to 0}} \frac{{a + x\ln81 - 9^x - 2 \cdot 3^x}}{{x}} = \lim_{{x \to 0}} \frac{{1 - \ln81}}{{x}}\]

Для нахождения предела слева, используем правило Лопиталя:

\[\lim_{{x \to 0}} \frac{{\ln81 - 9^x \ln9 - 2 \cdot 3^x \ln3}}{{1}} = 1 - \ln81\]

Теперь у нас есть уравнение:
\[1 - \ln81 = \frac{{1 - \ln81}}{{x}}\]

Уравнение становится:
\[1 = \ln81 \cdot \left(1 - \frac{1}{{x}}\right)\]

Теперь найдем значение \(x\), при котором это уравнение будет выполняться. Заметим, что в правой части уравнения имеется \(\ln81\), а в левой части уравнения есть только константа 1. Чтобы выразить значение \(x\), проведем следующие шаги:

\[\ln81 \cdot \left(1 - \frac{1}{{x}}\right) = 1\]
\[1 - \frac{1}{{x}} = \frac{1}{{\ln81}}\]
\[\frac{1}{{x}} = 1 - \frac{1}{{\ln81}}\]
\[x = \frac{1}{{1 - \frac{1}{{\ln81}}}}\]

Итак, мы нашли значение \(x\) как:
\[x = \frac{1}{{1 - \frac{1}{{\ln81}}}}\]

Теперь, чтобы найти значение \(a\), подставим это значение \(x\) в одно из исходных уравнений. Давайте возьмем, к примеру, уравнение \(a + x\ln81 = 9^x + 2 \cdot 3^x + 1 - \ln81\). Подставим значение \(x\) и решим уравнение относительно \(a\):

\[a + \frac{1}{{1 - \frac{1}{{\ln81}}}} \cdot \ln81 = 9^{\frac{1}{{1 - \frac{1}{{\ln81}}}}} + 2 \cdot 3^{\frac{1}{{1 - \frac{1}{{\ln81}}}}} + 1 - \ln81\]

К сожалению, найти точное аналитическое решение уравнения может быть довольно сложной задачей. В этом случае мы должны использовать численные методы или калькулятор для приближенного вычисления значения \(a\).

В итоге, чтобы найти значение \(a\), при котором прямая \(y = a + x\ln81\) становится касательной к кривой \(y = 9^x + 2 \cdot 3^x + 1 - \ln81\), нам потребуется использовать численные методы или калькулятор для приближенного решения данной задачи.