При каких значениях λ система векторов {a₁, a₂} будет линейно независимой, а система {λa₁ + a₂, a₁ + λa₂} будет линейно

Чтобы понять, при каких значениях λ система векторов {a₁, a₂} будет линейно независимой, а система {λa₁ + a₂, a₁ + λa₂} будет линейно зависимой, нам нужно применить определение линейной независимости и линейной зависимости векторов.

Система векторов будет линейно независимой, если для любых коэффициентов k₁ и k₂, уравнение k₁a₁ + k₂a₂ = 0 имеет только тривиальное решение, то есть k₁ = 0 и k₂ = 0. Если же существуют такие коэффициенты k₁ и k₂ (не равные нулю), что уравнение k₁a₁ + k₂a₂ = 0 имеет нетривиальное решение, то система векторов будет линейно зависимой.

Теперь посмотрим на систему векторов {λa₁ + a₂, a₁ + λa₂}. Для этой системы можно записать уравнение:
k₁(λa₁ + a₂) + k₂(a₁ + λa₂) = 0,
где k₁ и k₂ - некоторые коэффициенты.

Раскрывая скобки, получим:
k₁λa₁ + k₁a₂ + k₂a₁ + k₂λa₂ = 0.

Сгруппируем одинаковые слагаемые:
(k₁λ + k₂)a₁ + (k₁ + k₂λ)a₂ = 0.

Таким образом, мы получили линейное уравнение относительно векторов a₁ и a₂ с коэффициентами (k₁λ + k₂) и (k₁ + k₂λ).

Теперь вернемся к условию задачи:
Если система {λa₁ + a₂, a₁ + λa₂} будет линейно зависимой, то уравнение (k₁λ + k₂)a₁ + (k₁ + k₂λ)a₂ = 0 будет иметь нетривиальное решение.

Нетривиальное решение будет существовать, если определитель этой системы уравнений равен нулю. Определитель матрицы этой системы можно выразить следующим образом:

\[
\begin{vmatrix}
λ & 1 \\
1 & λ \\
\end{vmatrix}
= λ^2 - 1.
\]

Если определитель равен нулю, то получаем уравнение:
λ^2 - 1 = 0.

Решая это уравнение, находим два значения λ: λ₁ = 1 и λ₂ = -1.

Итак, система {a₁, a₂} будет линейно независимой при любых значениях λ, кроме λ = 1 и λ = -1. При этих значениях система {λa₁ + a₂, a₁ + λa₂} будет линейно зависимой.

Это детальное объяснение позволяет понять, как значения λ влияют на линейную независимость системы векторов.