При каких значениях переменной d функция y=5x³−15x возрастает на интервале [2d−2;10d+10]?

Для начала, мы должны определить, при каких значениях переменной \(d\) функция \(y = 5x^3 - 15x\) возрастает на интервале \([2d-2; 10d+10]\).

Для того, чтобы функция возрастала на заданном интервале, ее производная должна быть положительной на этом интервале. Поэтому, чтобы решить задачу, мы сначала найдем производную функции \(y\) и затем найдем интервалы, где производная положительна.

Для нахождения производной функции \(y\), мы используем правило дифференцирования для степеней и линейной комбинации функций:

\[y" = \frac{d}{dx}(5x^3 - 15x) = \frac{d}{dx}(5x^3) - \frac{d}{dx}(15x)\]

Дифференцируя каждый член по отдельности, получим:

\[y" = 15x^2 - 15\]

Теперь мы можем определить значения переменной \(d\), при которых функция возрастает на интервале \([2d-2; 10d+10]\).

Для этого, мы приравниваем производную \(y"\) к нулю и решим уравнение:

\[15x^2 - 15 = 0\]

Решая данное уравнение, получаем два решения: \(x = 1\) и \(x = -1\).

Теперь, мы можем построить таблицу знаков для производной \(y"\), чтобы определить знак производной на интервалах между точками:

\[
\begin{array}{|c|c|c|}
\hline
\text{Интервал} & (-\infty, -1) & (-1, 1) & (1, +\infty) \\
\hline
y" & - & + & + \\
\hline
\end{array}
\]

Из таблицы знаков видно, что производная \(y"\) положительна на интервалах \((-1, 1)\) и \((1, +\infty)\), а отрицательна на интервале \((-\infty, -1)\).

Теперь мы можем определить значения переменной \(d\), при которых функция возрастает на интервале \([2d-2; 10d+10]\).

1) Когда \(x\) находится в интервале \((-1, 1)\), функция \(y\) возрастает. Подставляя границы интервала \([-1, 1]\) в неравенство \(2d-2 \leq x \leq 10d+10\), мы находим:

\[2d-2 \leq -1 \quad \text{и} \quad 1 \leq 10d+10\]

Решая эти неравенства, мы получаем:

\[d \geq \frac{1}{2} \quad \text{и} \quad d \geq -1\]

Так как мы ищем значения переменной \(d\), при которых функция возрастает, мы берем во внимание только наименьшее значение, т.е. \(d \geq \frac{1}{2}\).

2) Когда \(x\) находится в интервале \((1, +\infty)\), функция \(y\) также возрастает. Подставляя границы интервала \([1, +\infty)\) в неравенство \(2d-2 \leq x \leq 10d+10\), мы получаем:

\[2d-2 \leq 1 \quad \text{и} \quad 1 \leq 10d+10\]

Решая эти неравенства, мы получаем:

\[d \geq \frac{3}{2} \quad \text{и} \quad d \geq -\frac{9}{10}\]

Снова, мы берем во внимание только наименьшее значение, т.е. \(d \geq \frac{3}{2}\).

Итак, мы приходим к заключению, что функция \(y = 5x^3 - 15x\) возрастает на интервале \([2d-2; 10d+10]\) при \(d \geq \frac{3}{2}\).

Оставайтесь на связи, если у вас есть еще вопросы!