При каких значениях параметра a уравнение x-1-√+4=a имеет корень?

Чтобы найти значения параметра \(a\), при которых уравнение \(x - 1 - \sqrt{x + 4} = a\) имеет корень, мы можем применить следующий алгоритм:

1. Изначально, давайте проверим, есть ли ограничения на \(x\), такие что выражение \(\sqrt{x + 4}\) будет вещественным.
Чтобы \(\sqrt{x + 4}\) был корректным, мы должны иметь \(x + 4 \geq 0\), что приводит к условию \(x \geq -4\).

2. Далее, выражение \(x - 1 - \sqrt{x + 4}\) должно быть равно параметру \(a\). Значит, мы можем записать уравнение в виде:
\(x - 1 - \sqrt{x + 4} = a\).

3. Теперь давайте рассмотрим случай, когда \(a \geq 0\). В таком случае, мы можем избавиться от корня, перенеся его на другую сторону уравнения:
\(x = 1 + \sqrt{x + 4} + a\).

4. Теперь возможны два варианта значений параметра \(a\):

а) Если \(a = 0\), получим \(x = 1 + \sqrt{x + 4}\).

б) Если \(a > 0\), тогда \(x\) может принимать любые значения больше числа \(1 + \sqrt{x + 4}\).

5. Как для случая а), так и для случая б), нам нужно проверить, выполняются ли условия для корректного значения \(x\).
Для а) \(x \geq -4\) и \(x \geq -4\), для б) нет ограничений на \(x\).

6. Если параметр \(a < 0\), мы не можем просто избавиться от корня. В этом случае, будем переносить элементы уравнения, чтобы получить его в квадратном виде.
Квадратное уравнение, когда корень содержится в уравнении, можно решить по правилу дискриминанта.

Таким образом, переведем уравнение в квадратный вид:
\(x^2 - 2x - a - 5 = 0\).

Для того, чтобы квадратное уравнение имело хотя бы один вещественный корень, дискриминант должен быть неотрицательным:
\(D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-a - 5) \geq 0\).

Решим это неравенство:
\(4 + 4a + 20 \geq 0\),
\(4a + 24 \geq 0\),
\(4a \geq -24\),
\(a \geq -6\).

7. Итак, при значениях параметра \(a \geq -6\), данное уравнение будет иметь хотя бы один вещественный корень.