1. Какова площадь поперечного сечения, если радиус шара составляет r, а плоскость проходит через конец радиуса

Задача 1:
Для решения этой задачи нам понадобится знание геометрии и тригонометрии. Дано, что радиус шара составляет \(r\), а плоскость проходит через конец радиуса и образует угол 60 градусов с ним.

Чтобы найти площадь поперечного сечения, сначала нам нужно найти радиус слоя, образованного этим поперечным сечением. Мы можем использовать тригонометрическое соотношение между радиусом шара и горизонтальной прямой, проведенной через конец радиуса и образующей угол 60 градусов. Этот радиус можно найти, используя тангенс:

\[
\tan(60^\circ) = \frac{{\text{{Радиус сечения}}}}{{r}}
\]

Так как мы знаем, что тангенс 60 градусов равен \(\sqrt{3}\), мы можем подставить это значение и найти радиус сечения:

\[
\sqrt{3} = \frac{{\text{{Радиус сечения}}}}{{r}}
\]

Далее, для нахождения площади сечения, мы можем использовать формулу площади круга:

\[
\text{{Площадь сечения}} = \pi \times \left(\text{{Радиус сечения}}\right)^2
\]

Подставим значение радиуса сечения и получим ответ.

Задача 2:
Для решения этой задачи снова понадобится знание геометрии и тригонометрии. Дано, что радиус шара составляет \(r\), а через одну точку его поверхности проходят две плоскости: первая - является касательной к шару, а вторая образует угол 30 градусов с первой.

Для нахождения площади поперечного сечения, нам нужно найти радиус сечения. Для этого мы можем провести прямую линию, соединяющую центр шара с этой точкой поверхности и образующую угол 30 градусов с касательной плоскостью. Обозначим эту линию как \(d\).

Мы можем использовать тригонометрическое соотношение между радиусом шара и ребром треугольника, составленного с помощью \(d\) и \(r\) в качестве катетов. Мы знаем, что тангенс 30 градусов равен \(\frac{1}{\sqrt{3}}\), поэтому можем записать:

\[
\tan(30^\circ) = \frac{d}{r}
\]

Теперь можем выразить \(d\):

\[
d = r \times \tan(30^\circ) = \frac{r}{\sqrt{3}}
\]

Используя радиус сечения \(d\), можем вычислить площадь поперечного сечения с помощью формулы площади круга:

\[
\text{{Площадь сечения}} = \pi \times \left(d\right)^2
\]

Подставив значение радиуса сечения и рассчитав, получим ответ.

Надеюсь, данный ответ был полезным и понятным для вас! Если у вас возникнут дополнительные вопросы, не стесняйтесь задавать их. Я всегда готов помочь!