При каких значениях параметра а уравнение a^2*x^2 + 4*a*x - 5 имеет корень 1/4?

Для решения данной задачи нам необходимо найти значения параметра \(а\), при которых уравнение \(a^2x^2 + 4ax - 5\) имеет корень \(x = \frac{1}{4}\).

Для начала мы можем воспользоваться формулой квадратного уравнения, которая гласит:

\[x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\]

В нашем случае у нас следующие значения: \(a = a^2\), \(b = 4a\) и \(c = -5\).

Подставим данную информацию в формулу квадратного уравнения:

\[\frac{1}{4} = \frac{-4a \pm \sqrt{(4a)^2 - 4 \cdot a^2 \cdot (-5)}}{2 \cdot a^2}\]

Далее мы можем упростить это уравнение. В первую очередь, воспользуемся формулой \((a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\), чтобы раскрыть квадрат в знаменателе:

\[\frac{1}{4} = \frac{-4a \pm \sqrt{16a^2 - 4a^2 \cdot (-5)}}{2a^2}\]

\[\frac{1}{4} = \frac{-4a \pm \sqrt{16a^2 + 20a^2}}{2a^2}\]

\[\frac{1}{4} = \frac{-4a \pm \sqrt{36a^2}}{2a^2}\]

Затем мы можем упростить выражение и получить:

\[\frac{1}{4} = \frac{-4a \pm 6a}{2a^2}\]

Теперь раскроем скобки и упростим:

\[\frac{1}{4} = \frac{2a}{2a^2}\]

\[\frac{1}{4} = \frac{1}{a}\]

Теперь у нас есть простое уравнение, которое мы легко можем решить, умножив обе стороны на \(а\):

\(1 = \frac{4}{a}\)

Поскольку \(1 = \frac{4}{a}\) эквивалентно \(a = 4\), мы можем сделать вывод, что уравнение \(a^2x^2 + 4ax - 5\) имеет корень \(x = \frac{1}{4}\) при \(a = 4\).