При каких значениях параметра а уравнение a^2*x^2 + 4*a*x - 5 имеет корень 1/4?

Question

Алгебра: При каких значениях параметра а уравнение a^2*x^2 + 4*a*x - 5 имеет корень 1/4?

Золотая_Завеса · Accepted Answer

Для решения данной задачи нам необходимо найти значения параметра

а

, при которых уравнение

a^{2} x^{2} + 4 a x - 5

имеет корень

x = \frac{1}{4}

.

Для начала мы можем воспользоваться формулой квадратного уравнения, которая гласит:

x = \frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a}

В нашем случае у нас следующие значения:

a = a^{2}

,

b = 4 a

и

c = - 5

.

Подставим данную информацию в формулу квадратного уравнения:

\frac{1}{4} = \frac{- 4 a \pm \sqrt{(4 a)^{2} - 4 \cdot a^{2} \cdot (- 5)}}{2 \cdot a^{2}}

Далее мы можем упростить это уравнение. В первую очередь, воспользуемся формулой

(a - b)^{2} = a^{2} - 2 a b + b^{2}

, чтобы раскрыть квадрат в знаменателе:

\frac{1}{4} = \frac{- 4 a \pm \sqrt{16 a^{2} - 4 a^{2} \cdot (- 5)}}{2 a^{2}}

\frac{1}{4} = \frac{- 4 a \pm \sqrt{16 a^{2} + 20 a^{2}}}{2 a^{2}}

\frac{1}{4} = \frac{- 4 a \pm \sqrt{36 a^{2}}}{2 a^{2}}

Затем мы можем упростить выражение и получить:

\frac{1}{4} = \frac{- 4 a \pm 6 a}{2 a^{2}}

Теперь раскроем скобки и упростим:

\frac{1}{4} = \frac{2 a}{2 a^{2}}

\frac{1}{4} = \frac{1}{a}

Теперь у нас есть простое уравнение, которое мы легко можем решить, умножив обе стороны на

а

:

1 = \frac{4}{a}

Поскольку

1 = \frac{4}{a}

эквивалентно

a = 4

, мы можем сделать вывод, что уравнение

a^{2} x^{2} + 4 a x - 5

имеет корень

x = \frac{1}{4}

при

a = 4

.

При каких значениях параметра а уравнение a^2x^2 + 4a*x - 5 имеет корень 1/4?