При каких значениях параметра a функция y=6x^3−18x является убывающей на интервале [a+6;a+8]?

Данная задача требует исследования функции на возрастание и убывание на заданном интервале. Для этого нам необходимо найти производную функции и проанализировать ее знак на интервале [a+6;a+8].

Шаг 1: Найдем производную функции y=6x^3−18x. Для этого применим правило дифференцирования для каждого слагаемого по отдельности. Обратите внимание, что постоянное слагаемое -18x будет дифференцироваться как нуль, так как его производная равна нулю.

Производная сложной функции f(g(x)) равна произведению производной внешней функции f"(g(x)) и производной внутренней функции g"(x).

Поэтому, применяя правило дифференцирования для каждого слагаемого, получим:
\[y" = (6x^3)" + (-18x)" = 18x^2 - 18\]

Шаг 2: Теперь нам нужно найти значения x, при которых производная равна нулю, чтобы определить точки перегиба функции и ее возрастание или убывание. Решим уравнение 18x^2 - 18 = 0:

\[18x^2 - 18 = 0\]

Разделим оба члена уравнения на 18:

\[x^2 - 1 = 0\]

Раскроем скобки:

\[(x-1)(x+1) = 0\]

Получаем два возможных значения x: x = 1 и x = -1.

Шаг 3: Теперь мы можем построить таблицу знаков производной y" на интервале [a+6;a+8] с учетом полученных значений x.

x | -∞ | -1 | 1 | +∞
------------- | ------ | ------ | ----- | ------
y" | - | 0 | + | +

Здесь "-" означает отрицательное значение производной, "0" - ноль, "+" - положительное значение производной.

Из таблицы знаков видно, что функция y=6x^3−18x возрастает на интервале [-∞;-1] и на интервале [1;+∞], а убывает на интервале [-1;1].

Шаг 4: Вернемся к задаче. Мы должны определить, при каких значениях параметра a функция y=6x^3−18x является убывающей на интервале [a+6;a+8]. Как мы уже установили, функция является убывающей на интервале [-1;1]. Значит, для того, чтобы функция также была убывающей на заданном интервале [a+6;a+8], значения параметра a должны находиться в диапазоне [-1;1].

Таким образом, функция y=6x^3−18x является убывающей на интервале [a+6;a+8] при значениях параметра a из диапазона [-1;1].