При каких значениях натурального числа n выражение cos1°⋅cos2°⋅cos3°⋅...⋅cosn° будет а) положительным? Ответ: n∈[ ...°

Для начала, давайте разберемся, какие значения принимает функция косинуса в радианах. Косинус принимает значения от -1 до 1 включительно, и его значения меняются в зависимости от угла, переданного в функцию.

В данной задаче, углы заданы в градусах, поэтому нам нужно будет предварительно перевести их в радианы, чтобы использовать функцию косинуса.

Мы знаем, что для некоторого числа n выражение cos1°⋅cos2°⋅cos3°⋅...⋅cosn° будет либо положительным, либо отрицательным, или же может быть равным 0.

а) Положительное значение:
Выражение cos1°⋅cos2°⋅cos3°⋅...⋅cosn° будет положительным, когда каждый из множителей будет положительным. То есть, каждый косинус должен быть больше 0.

Зная ограничения функции косинуса, мы можем сделать вывод, что каждый множитель cosi° будет больше 0, когда i находится в интервале, где косинус принимает положительное значение. Поэтому, для положительного значения выражения, нам нужно найти интервал, в котором функция косинуса принимает положительные значения.

Вспомним, что значение косинуса -1 при \(180°\) (или \(\pi\) радиан), и равно 1 при \(0°\) (или 0 радиан). Значит, косинус будет положительным в промежутках между этими значениями. Поэтому, чтобы выражение было положительным, \(i\) должно принадлежать интервалам, где косинус положителен.

На основе этого, мы можем заключить, что для \(n\) значение \[i\in[0°, 180°], i\neq 90°, 270°, 360°, \ldots\]

б) Отрицательное значение:
Выражение cos1°⋅cos2°⋅cos3°⋅...⋅cosn° будет отрицательным, когда количество отрицательных множителей в выражении будет нечетным.

Как мы уже установили, косинус положительный от \(0°\) до \(180°\), поэтому, чтобы получить отрицательное значение выражения, мы должны сделать один из множителей, соответствующий нечетному \(i\), отрицательным.

То есть, для этого случая, нам нужно найти интервал, в котором косинус принимает отрицательные значения, и выбрать нечетное количество множителей из этого интервала.

На основе этого, мы можем сделать вывод, что для \(n\) значение \[i\in[180°, 360°]\]

Надеюсь, данный ответ полностью объясняет, при каких значениях натурального числа \(n\) выражение \(cos1°⋅cos2°⋅cos3°⋅...⋅cosn°\) будет положительным или отрицательным. Если у вас остались дополнительные вопросы, пожалуйста, задайте их.