При каких значениях m график квадратного трёхчлена y=(m+4)x^2-2(m+2)x+1 находится внизу от

Для того чтобы определить при каких значениях параметра \(m\) график квадратного трехчлена \(y=(m+4)x^2-2(m+2)x+1\) находится внизу от оси \(x\), нам необходимо проанализировать его дискриминант и ведущий коэффициент.

Дискриминант квадратного трехчлена задается формулой \(D=b^2-4ac\), где \(a\), \(b\) и \(c\) - коэффициенты перед \(x^2\), \(x\) и \(1\) соответственно.

В нашем случае \(a=(m+4)\), \(b=-2(m+2)\) и \(c=1\), поэтому формула для дискриминанта будет следующей:

\[D = (-2(m+2))^2 - 4(m+4)(1)\]

После раскрытия скобок и упрощения получим:

\[D = 4(m^2 + 4m + 4) - 4(m+4)\]

Продолжим упрощение:

\[D = 4m^2 + 16m + 16 - 4m - 16\]

\[D = 4m^2 + 12m\]

Теперь для того, чтобы график квадратного трехчлена находился внизу от оси \(x\), необходимо, чтобы его дискриминант был отрицательным числом: \(D<0\).

Получаем неравенство:

\[4m^2 + 12m < 0\]

Для решения этого неравенства применим метод интервалов. Рассмотрим два случая:

Случай 1: \(m > 0\)

В этом случае неравенство можно разделить на \(4m\) без изменения знака:

\[m + 3 < 0\]

Таким образом, при \(m > 0\) неравенство \(4m^2 + 12m < 0\) выполняется.

Случай 2: \(m < 0\)

В этом случае неравенство можно разделить на \(4m\) с изменением знака:

\[m + 3 > 0\]

Таким образом, при \(m < 0\) неравенство \(4m^2 + 12m < 0\) не выполняется.

Итак, ответом на задачу будет множество значений параметра \(m\), для которых график квадратного трехчлена находится внизу от оси \(x\): \(m > 0\).