ПРЕОБРАЗИТЬ ТЕКСТ. 1. Основание прямой призмы - прямоугольный треугольник с одним катетом длиной 10 см и другим катетом

Хорошо, давайте решим поставленные задачи шаг за шагом.

1. В первой задаче у нас есть прямая призма с прямоугольным треугольником в основании. Один катет этого треугольника равен 10 см, а другой - 24 см. Мы хотим найти площадь боковой поверхности призмы, при условии, что наибольшая грань призмы является квадратом.

Первым шагом найдем площадь треугольника в основании. Формула для нахождения площади прямоугольного треугольника с катетами \(a\) и \(b\) : площадь = \(\frac{1}{2} \cdot a \cdot b\). В нашем случае, \(a = 10\) см, а \(b = 24\) см. Подставляя значения в формулу, получаем:

площадь основания = \(\frac{1}{2} \cdot 10 \cdot 24 = 120\) см².

Затем найдем периметр основания. Для прямоугольного треугольника периметр можно найти по формуле: периметр = сумма всех сторон треугольника. В нашем случае, сумма сторон составляет \(a + b + c\), где \(c\) - гипотенуза треугольника. Для нахождения гипотенузы можно воспользоваться теоремой Пифагора: \(c^2 = a^2 + b^2\), тогда \(c = \sqrt{a^2 + b^2}\). Подставляя значения, находим:

\(c = \sqrt{10^2 + 24^2} = \sqrt{676} = 26\) см.

Теперь можем найти периметр: периметр = \(a + b + c = 10 + 24 + 26 = 60\) см.

Поскольку наибольшая грань призмы является квадратом, сторона этого квадрата будет равна периметру основания: \(s = 60\) см.

Окончательно, площадь боковой поверхности призмы можно найти умножением периметра основания на высоту призмы. В нашем случае, высота не указана, поэтому предположим, что высота призмы равна 10 см. Тогда:

площадь боковой поверхности призмы = периметр основания \(\times\) высота = \(60 \times 10 = 600\) см².

Ответ: площадь боковой поверхности призмы равна 600 см².

2. Во второй задаче у нас есть правильная четырехугольная пирамида с высотой 4 см и углом при основании, равным 45 градусам. Мы хотим найти площадь общей поверхности пирамиды.

Для начала, найдем площадь основания пирамиды. Поскольку пирамида правильная, ее основание - четырехугольник - будет квадратом со стороной, равной длине ребра пирамиды. Мы знаем, что угол при основании равен 45 градусам, и это является углом диагоналей квадрата.

Поскольку угол при основании 45 градусов, это означает, что каждый угол квадрата также равен 45 градусам, и квадрат является ромбом. Ромб - это квадрат, у которого все стороны равны.

Таким образом, чтобы найти длину ребра пирамиды (и сторону основания), мы можем взять одну из диагоналей ромба. Диагональ ромба делит его на два равных прямоугольных треугольника. Изучая один из этих треугольников, мы можем использовать соотношение сторон в прямоугольном треугольнике (как в первой задаче).

Длина диагонали ромба (которая является диагональю прямоугольного треугольника) может быть найдена с использованием формулы Пифагора. Длина катетов равна \(a = 4\) см, а \(b = 4\) см.

Тогда длина диагонали (гипотенузы) будет равна: \(c = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{4^2 + 4^2} = \sqrt{32} = 4\sqrt{2}\) см.

Теперь мы знаем длину диагонали квадрата, которая также является длиной ребра пирамиды.

Таким образом, площадь общей поверхности пирамиды - это сумма площади основания и площади боковой поверхности. Для правильной пирамиды с высотой \(h\) и стороной основания \(s\) мы можем использовать формулу: площадь общей поверхности = площадь основания + площадь боковой поверхности.

Площадь основания - это просто сторона в квадрате: \(A_{\text{осн}} = s^2 = (4\sqrt{2})^2 = 16 \cdot 2 = 32\) см².

Теперь найдем площадь боковой поверхности. Для правильной пирамиды площадь боковой поверхности может быть найдена по формуле: площадь боковой поверхности = \(\frac{1}{2} \cdot \text{периметр основания} \times \text{апофема}\).

Чтобы найти апофему пирамиды, мы можем использовать теорему Пифагора для треугольника с двумя равными сторонами \(a = b = 4\) и гипотенузой \(c = 4\sqrt{2}\). С помощью этой формулы получим: \(c^2 = a^2 + b^2\) или \((4\sqrt{2})^2 = 4^2 + 4^2\). Решая это уравнение, получаем: \(32 = 16 + 16\), \(32 = 32\). Таким образом, длина апофемы равна 4 см.

Теперь мы можем посчитать площадь боковой поверхности: площадь боковой поверхности = \(\frac{1}{2} \cdot \text{периметр основания} \times \text{апофема}\). Периметр основания равен \(4 \cdot \text{сторона} = 4 \cdot 4\sqrt{2} = 16\sqrt{2}\). Подставляя значения в формулу, получаем:

площадь боковой поверхности = \(\frac{1}{2} \cdot 16\sqrt{2} \cdot 4\) = \(32\sqrt{2}\) см².

Теперь мы можем найти площадь общей поверхности, просто суммируя площадь основания и площадь боковой поверхности:

площадь общей поверхности = площадь основания + площадь боковой поверхности = \(32\) см² + \(32\sqrt{2}\) см² = \(32 + 32\sqrt{2}\) см².

Ответ: площадь общей поверхности пирамиды равна \(32 + 32\sqrt{2}\) см².

3. В третьей задаче у нас есть правильная треугольная пирамида с высотой 2 см и радиусом окружности, описанной вокруг основания, равным 4 см. Нам нужно найти а) апофему пирамиды и б) площадь боковой поверхности пирамиды.

а) Апофема пирамиды - это расстояние от центра основания до вершины пирамиды. Можем найти апофему, используя теорему Пифагора для треугольника с гипотенузой \(d = 2 \times \text{радиус окружности} = 2 \times 4 = 8\) см и катетами \(a = \text{радиус окружности} = 4\) см и \(b = \text{высота пирамиды} = 2\) см. Подставляя значения в формулу, получаем:

\(d^2 = a^2 + b^2\) или \(8^2 = 4^2 + 2^2\).

Выполнив вычисления, получаем: \(64 = 16 + 4\), \(64 = 20\).

У нас получилось неверное уравнение. Это означает, что задача не имеет решения. Проверьте данные и условия задачи и убедитесь, что они правильные.

б) Теперь рассмотрим площадь боковой поверхности пирамиды. Чтобы найти площадь боковой поверхности, используем формулу для правильной треугольной пирамиды: площадь боковой поверхности = \(\frac{1}{2} \times \text{периметр основания} \times \text{апофема}\).

Периметр основания можно найти, зная радиус окружности \(r = 4\) см. Для правильного треугольника периметр равен \(3 \times \text{сторона}\). Так как у нас изначально не даны стороны треугольника, пусть \(s\) будет стороной. Тогда периметр равен \(3s\).

Теперь мы можем найти площадь боковой поверхности: площадь боковой поверхности = \(\frac{1}{2} \times \text{периметр основания} \times \text{апофема}\). Подставляя значения в формулу, получаем:

площадь боковой поверхности = \(\frac{1}{2} \times 3s \times \text{апофема}\).

Ответ: площадь боковой поверхности пирамиды равна \(\frac{1}{2} \times 3s \times \text{апофема}\) см².