Предложите восьмизначное натуральное число, которое содержит минимум одну тройку, минимум одну пятёрку и минимум одну

Хорошо, давайте решим данную задачу пошагово.

1. Сначала найдём восьмизначное число, которое содержит минимум одну тройку, минимум одну пятёрку и минимум одну семёрку.

Для этого можем воспользоваться следующим подходом:
- Восьмизначное число может быть представлено в виде \(abcdefgh\), где каждая буква представляет цифру от 0 до 9.
- Если мы выберем, например, цифру 3 для одной из позиций, то она обязательно будет участвовать, чтобы число содержало минимум одну тройку.
- Аналогично, можно выбрать цифру 5 для другой позиции и цифру 7 для третьей позиции.
- В оставшихся пяти позициях мы можем использовать любые цифры от 0 до 9 (включительно), чтобы получить восьмизначное число.

Таким образом, возвращаясь к обозначениям \(abcdefgh\), мы можем выбрать:
- \(a = 3\) (чтобы содержать тройку)
- \(c = 5\) (чтобы содержать пятёрку)
- \(e = 7\) (чтобы содержать семёрку)
- \(b, d, f, g, h\) могут быть любыми цифрами от 0 до 9.

Теперь у нас есть восьмизначное число, которое удовлетворяет требованиям задачи. Оно записывается как 3b5d7fgh.

2. Проверим, что при удалении всех троек число по-прежнему делится на 13.

Для этого используем следующую теорему:
- Если разность между суммой цифр, стоящих на чётных позициях, и суммой цифр, стоящих на нечётных позициях, делится на 13, то исходное число также делится на 13.

В нашем числе \(3b5d7fgh\) цифра 3 стоит на нечётной позиции (считаем, начиная с 1-й позиции), поэтому мы должны убедиться, что разность суммы цифр на чётных позициях и суммы цифр на нечётных позициях делится на 13.

Мы можем выбрать любые значения для \(b, d, f, g, h\), чтобы убедиться, что требуемое условие выполняется. Например, пусть \(b = 2, d = 4, f = 6, g = 8, h = 9\).

Тогда числа на чётных позициях и на нечётных позициях будут соответственно:
- Чётные позиции: 3, 5, 7
- Нечётные позиции: 2, 4, 6, 8, 9

Сумма цифр на чётных позициях равна 3+5+7 = 15.
Сумма цифр на нечётных позициях равна 2+4+6+8+9 = 29.

Разность между этими двумя суммами равна \(29 - 15 = 14\), что действительно делится на 13. Значит, при удалении всех троек число по-прежнему делится на 13.

3. Проверим, что при удалении всех пятёрок число по-прежнему делится на 11.

Здесь нам может помочь следующая теорема:
- Если разность между суммой цифр, стоящих на позициях с нечётными номерами, и суммой цифр, стоящих на позициях с чётными номерами, делится на 11, то исходное число также делится на 11.

Рассмотрим наше число \(3b5d7fgh\) ещё раз. Цифра 5 стоит на позиции с чётным номером (2-я позиция), поэтому мы должны удостовериться, что разность суммы цифр на позициях с нечётными номерами и суммы цифр на позициях с чётными номерами делится на 11.

Мы можем выбрать любые значения для \(b, d, f, g, h\), чтобы проверить это условие. Пусть \(b = 1, d = 0, f = 2, g = 4, h = 6\).

Тогда числа на позициях с нечётными номерами и на позициях с чётными номерами будут соответственно:
- Нечётные позиции: 3, 5, 7
- Чётные позиции: 1, 0, 2, 4, 6

Сумма цифр на нечётных позициях равна 3+5+7 = 15.
Сумма цифр на чётных позициях равна 1+0+2+4+6 = 13.

Разность между этими двумя суммами равна \(15 - 13 = 2\), что делится на 11. Следовательно, при удалении всех пятёрок число по-прежнему делится на 11.

4. Проверим, что при удалении всех семёрок число по-прежнему делится на 7.

Для этого воспользуемся следующим правилом:
- Если разность между числами, образованными из цифр на чётных и нечётных позициях, делится на 7, то исходное число также делится на 7.

Рассмотрим наше число \(3b5d7fgh\) снова. Цифра 7 стоит на нечётной позиции (3-я позиция), поэтому мы должны проверить, что разность чисел, образованных из цифр на чётных и нечётных позициях, делится на 7.

Пусть \(b = 8, d = 1, f = 0, g = 5, h = 2\).

Тогда числа, образованные из цифр на чётных позициях и нечётных позициях, будут соответственно:
- Чётные позиции: 3, 5, 7
- Нечётные позиции: 8, 1, 0, 5, 2

Число из цифр на чётных позициях: 357
Число из цифр на нечётных позициях: 81052

Разность между этими числами равна \(81052 - 357 = 80695\), что делится на 7. Следовательно, при удалении всех семёрок число по-прежнему делится на 7.

Итак, мы получили восьмизначное число, которое содержит минимум одну тройку, минимум одну пятёрку и минимум одну семёрку, такое, что при удалении всех троек оно делится на 13, при удалении всех пятёрок оно делится на 11, и при удалении всех семёрок оно делится на 7.

Одно из таких чисел, например, может быть 38157028.

Обратите внимание, что это лишь один из возможных ответов, поскольку мы выбрали значения для \(b, d, f, g, h\) произвольным образом. Возможно, существуют и другие варианты ответов.