Предложите полное решение двух задач. Задача 9: В треугольнике АВС точка М делит сторону AC на два отрезка, AM

Задача 9: Для решения данной задачи рассмотрим треугольник АМС. Так как точка М делит сторону AC на два отрезка, с длинами 7 и 3, соответственно, то отношение длин отрезков АМ и МС равно \(\frac{7}{3}\).
Из условия задачи также известно, что прямая, проведенная через точку М параллельно стороне BC, пересекает сторону АВ в точке Е. Затем через точку Е проведена вторая прямая, параллельная прямой BM. Обозначим точку пересечения этой второй прямой со стороной АС за N. Нам нужно найти отношение длин отрезков АН и НС.

Обратимся к подобию треугольников. Треугольники АМС и МЕН подобны, так как у них соответственные углы равны (они прямые, так как параллельные прямые пересекаются с прямыми МВ и ВС на основании параллельности). Следовательно, отношение длин соответственных сторон будет равно.

Отношение длин отрезков АН и НС равно отношению длин отрезков АМ и МС, то есть \(\frac{7}{3}\).

Ответ: Вторая прямая делит сторону AC в отношении 7:3.

Теперь рассмотрим задачу 11.

Задача 11: В трапеции АВСD точка Е является серединой боковой стороны СD. Через вершину В параллельно этой стороне проводится прямая, которая пересекает отрезок АЕ в точке К. Нам нужно найти отношение длин оснований трапеции АВСD.

Обозначим длину отрезка СЕ за а, длину отрезка АК за b, и длину отрезка ВК за с.

Из условия задачи известно, что точка Е является серединой боковой стороны СD, поэтому отрезок СЕ имеет равную длину с отрезком ЕD.

Также, по определению прямолинейных углов, угол ВКС равен углу ВАС, так как они соответственные углы, образованные параллельными прямыми. Следовательно, треугольники АКЕ и ВСК подобны, так как у них соответственные углы равны. Значит, отношение длин отрезков АК и КС равно отношению длин отрезков АЕ и ЕК.

Отношение длин отрезков АК и КС равно \(\frac{b}{c}\).

Ответ: Отношение длин оснований трапеции АВСD равно \(\frac{b}{c}\).

Надеюсь, эти подробные решения помогли вам понять задачи. Если у вас есть еще вопросы, не стесняйтесь задавать.