Пожалуйста, заполните таблицу, связанную с теоремой косинусов

Таблица, связанная с теоремой косинусов, поможет нам найти длины сторон треугольника при известных углах и длинах других сторон. Пусть у нас есть треугольник ABC, где сторона AB имеет длину a, сторона BC имеет длину b, а сторона AC имеет длину c. Угол между сторонами AB и AC обозначим как α, между сторонами AB и BC - как β, и между сторонами AC и BC - как γ.

Таблицу можно заполнить следующим образом:

1. Формула для вычисления длины стороны треугольника при известных углах и длинах других сторон:

\[c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos(γ)\]
\[b^2 = a^2 + c^2 - 2ac\cos(β)\]
\[a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos(α)\]

2. Пример использования таблицы.

Допустим, у нас есть треугольник ABC со сторонами \(a = 5\), \(b = 7\) и углом γ = 60 градусов. Мы хотим найти длины оставшихся сторон и углов треугольника.

Сначала используем формулу для нахождения \(c\):

\[c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos(γ)\]
\[c^2 = 5^2 + 7^2 - 2 \cdot 5 \cdot 7 \cdot \cos(60^\circ)\]
\[c^2 = 25 + 49 - 70 \cdot \frac{1}{2}\]
\[c^2 = 50 - 35\]
\[c^2 = 15\]
\[c = \sqrt{15}\]

Теперь, когда у нас есть значение \(c\), мы можем использовать остальные формулы для нахождения \(a\) и \(b\):

\[b^2 = a^2 + c^2 - 2ac\cos(β)\]
\[7^2 = a^2 + 15 - 2a \cdot \sqrt{15} \cdot \cos(β)\]
\[49 = a^2 + 15 - 2a \sqrt{15} \cos(β)\]

\[a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos(α)\]
\[a^2 = 7^2 + 15 - 2 \cdot 7 \cdot \sqrt{15} \cos(α)\]
\[a^2 = 49 + 15 - 14 \sqrt{15} \cos(α)\]

Мы можем решить эти уравнения для \(a\) и \(b\) с помощью математических методов, таких как применение квадратного корня и тригонометрических тождеств. Но интересующийся может продолжить самостоятельный расчет, если нужно.

Таким образом, таблица, связанная с теоремой косинусов, позволяет нам находить длины сторон треугольника при известных углах и длинах других сторон. Она является полезным инструментом для решения задач в геометрии и тригонометрии.