Пожалуйста, объясните, может ли число 1-2+3-4+5-6+...-2020+2021 быть делится на 3 и обоснуйте свой ответ

Когда рассматриваемая последовательность чисел состоит из чередующихся слагаемых, необходимо разделить ее на четные и нечетные позиции и рассмотреть их суммы отдельно. Для этого распишем заданную последовательность:

1 - 2 + 3 - 4 + 5 - 6 + ... - 2020 + 2021.

Для начала рассмотрим сумму четных позиций (2 - 4 - 6 - ... - 2020):

2 - 4 + 6 - ... - 2020.

Как видно, все члены данной последовательности четные. Для нахождения суммы данной арифметической прогрессии можно воспользоваться формулой:
\[S = \frac{n \cdot (a_1 + a_n)}{2},\]
где \(S\) это сумма, \(n\) количество членов прогрессии, \(a_1\) первый член прогрессии, \(a_n\) последний член прогрессии.

В данном случае:
а) количество членов прогрессии \(n = \frac{\text{количество членов} - 1}{2} = \frac{2020 - 1}{2} = 1010\);
б) первый член прогрессии \(a_1 = 2\);
в) последний член прогрессии \(a_n = 2020\).

Теперь подставим значения в формулу и найдем сумму:
\[S = \frac{1010 \cdot (2 + 2020)}{2} = \frac{1010 \cdot 2022}{2} = 1,022,110.\]

Теперь рассмотрим сумму нечетных позиций (1 + 3 + 5 + ... + 2021):

1 + 3 + 5 + ... + 2021.

Как видно, все члены данной последовательности нечетные. И снова воспользуемся формулой для суммы арифметической прогрессии:
\[S = \frac{n \cdot (a_1 + a_n)}{2}.\]

В данном случае:
а) количество членов прогрессии \(n = \frac{\text{количество членов} + 1}{2} = \frac{2021 + 1}{2} = 1011\);
б) первый член прогрессии \(a_1 = 1\);
в) последний член прогрессии \(a_n = 2021\).

Теперь подставим значения в формулу и найдем сумму:
\[S = \frac{1011 \cdot (1 + 2021)}{2} = \frac{1011 \cdot 2022}{2} = 1,022,021.\]

Теперь, чтобы узнать, делится ли данная сумма на 3, проверим ее остаток от деления на 3. Если остаток равен 0, то число делится на 3.

Для суммы четных чисел \(1,022,110\):
\[1,022,110 \, \text{mod} \, 3 = 0.\]

Для суммы нечетных чисел \(1,022,021\):
\[1,022,021 \, \text{mod} \, 3 = 0.\]

Как видно, оба остатка равны 0, значит, сумма чисел от 1 до 2021 делится на 3.

Таким образом, число \(1-2+3-4+5-6+...-2020+2021\) может быть делится на 3.