Пожалуйста найдите координаты точки касания и составьте уравнение касательной для касательной, проведенной к графику

Для начала найдем точку касания касательной с графиком функции. Чтобы найти точку касания, нам нужно найти значения \(x\) и \(y\), при которых касательная проходит через график функции \(y = 2x^3 - 6x^2 - 19x + 20\) и имеет угол 135 градусов с положительным направлением.

Для этого нам необходимо решить систему уравнений, состоящую из уравнения функции и уравнения касательной. Уравнение функции уже дано: \(y = 2x^3 - 6x^2 - 19x + 20\).

Теперь мы можем найти производную этой функции, чтобы найти уравнение касательной. Производная функции позволяет нам найти наклон касательной к графику функции в каждой точке. Для этого возьмем производную от \(y\) по \(x\):

\[
\frac{{dy}}{{dx}} = \frac{{d}}{{dx}} (2x^3 - 6x^2 - 19x + 20) = 6x^2 - 12x - 19
\]

Теперь мы можем использовать полученное уравнение для дальнейших расчетов. Найдем корни этого уравнения, чтобы найти точку касания.

Чтобы решить \(6x^2 - 12x - 19 = 0\), мы можем использовать квадратное уравнение. Нам нужно найти значения \(x\), при которых уравнение равно нулю.

Прежде всего, давайте выясним, существует ли уравнение x. Мы можем найти дискриминант \(D\) квадратного уравнения:

\[
D = (-12)^2 - 4 \cdot 6 \cdot (-19) = 144 + 456 = 600
\]

Так как дискриминант положительный (\(D > 0\)), у нас есть два различных вещественных корня.

Далее мы можем использовать формулу для нахождения корней квадратного уравнения:

\[
x = \frac{{-b \pm \sqrt{D}}}{{2a}}
\]

где \(a = 6\), \(b = -12\), и \(D = 600\).

Следовательно,

\[
x = \frac{{-(-12) \pm \sqrt{600}}}{{2 \cdot 6}} = \frac{{12 \pm \sqrt{600}}}{{12}}
\]

Теперь найдем значение \(y\) для найденных значений \(x\), используя исходное уравнение функции:

\[
y = 2(\frac{{12 \pm \sqrt{600}}}{{12}})^3 - 6(\frac{{12 \pm \sqrt{600}}}{{12}})^2 - 19(\frac{{12 \pm \sqrt{600}}}{{12}}) + 20
\]

После вычислений, мы получим две точки касания:

\[
P_1(\frac{{12 + \sqrt{600}}}{{12}}, f(\frac{{12 + \sqrt{600}}}{{12}})), P_2(\frac{{12 - \sqrt{600}}}{{12}}, f(\frac{{12 - \sqrt{600}}}{{12}}))
\]

Теперь у нас есть координаты двух точек касания касательной с графиком функции.

Чтобы составить уравнение касательной для каждой из этих точек, мы можем использовать найденные значения из производной функции:

Для \(P_1(\frac{{12 + \sqrt{600}}}{{12}}, f(\frac{{12 + \sqrt{600}}}{{12}}))\):

Наклон касательной: \(m_1 = \frac{{dy}}{{dx}} \Biggr|_{x = \frac{{12 + \sqrt{600}}}{{12}}}\)

Теперь найдем значение \(m_1\), подставив \(x = \frac{{12 + \sqrt{600}}}{{12}}\) в производную функции:

\(m_1 = 6(\frac{{12 + \sqrt{600}}}{{12}})^2 - 12(\frac{{12 + \sqrt{600}}}{{12}}) - 19\)

Теперь, используя значение наклона \(m_1\) и точку \(P_1(\frac{{12 + \sqrt{600}}}{{12}}, f(\frac{{12 + \sqrt{600}}}{{12}}))\), мы можем составить уравнение касательной:

\(y - f(\frac{{12 + \sqrt{600}}}{{12}}) = m_1 \cdot (x - \frac{{12 + \sqrt{600}}}{{12}})\)

Для \(P_2(\frac{{12 - \sqrt{600}}}{{12}}, f(\frac{{12 - \sqrt{600}}}{{12}}))\):

Наклон касательной: \(m_2 = \frac{{dy}}{{dx}} \Biggr|_{x = \frac{{12 - \sqrt{600}}}{{12}}}\)

Теперь найдем значение \(m_2\), подставив \(x = \frac{{12 - \sqrt{600}}}{{12}}\) в производную функции:

\(m_2 = 6(\frac{{12 - \sqrt{600}}}{{12}})^2 - 12(\frac{{12 - \sqrt{600}}}{{12}}) - 19\)

Теперь, используя значение наклона \(m_2\) и точку \(P_2(\frac{{12 - \sqrt{600}}}{{12}}, f(\frac{{12 - \sqrt{600}}}{{12}}))\), мы можем составить уравнение касательной:

\(y - f(\frac{{12 - \sqrt{600}}}{{12}}) = m_2 \cdot (x - \frac{{12 - \sqrt{600}}}{{12}})\)