Постройте на плоскости все точки, для которых расстояние до любой точки на окружности не превышает

Данная задача связана с понятием окружности и расстоянием от точки до окружности. Построение всех точек, для которых расстояние до любой точки на окружности не превышает заданное число \(r\), представляет собой построение круга с заданным радиусом \(r\) вокруг центра окружности.

Чтобы решить данную задачу, выполним следующие шаги:

1. На плоскости чертим окружность с центром в точке \(O\) и радиусом \(r\). Обозначим ее как окружность \(K\).
2. Находим любую точку на окружности \(K\) и обозначаем ее как точку \(A\).
3. Проводим отрезок \(OA\) и находим его середину, которую обозначим как точку \(M\).
4. Построим перпендикуляр к отрезку \(OA\) через точку \(M\).
5. Меньший из двух пересечений перпендикуляра с окружностью \(K\) обозначим как точку \(B_1\), а больший — как точку \(B_2\).
6. Проводим прямую через точку \(A\) и точку \(B_1\) и продлеваем ее за пределы окружности.
7. Аналогично проводим прямую через точку \(A\) и точку \(B_2\), также продлевая ее за пределы окружности.
8. Точки пересечения продленных прямых с окружностью \(K\) и будут искомыми точками. Обозначим их как точки \(C_1\) и \(C_2\).

Таким образом, если провести все возможные такие линии из каждой точки на окружности \(K\), то все точки пересечения с окружностью образуют искомую фигуру - круг с центром в точке \(O\) и радиусом \(r\).

Вот формула для нахождения пересечений линии \(OA\) с окружностью \(K\) (с точками \(B_1\) и \(B_2\)):
\[
x_{1,2} = \frac{{x_A+x_O}}{2} \pm \frac{{\sqrt{r^2 - \left(\frac{{x_A-x_O}}{2}\right)^2}}}{2}
\]
\[
y_{1,2} = \frac{{y_A+y_O}}{2} \pm \frac{{\sqrt{r^2 - \left(\frac{{y_A-y_O}}{2}\right)^2}}}{2}
\]

Где \((x_A, y_A)\) - координаты точки \(A\) на окружности \(K\), а \((x_O, y_O)\) - координаты центра окружности \(K\).

Теперь, зная все шаги решения и формулу для нахождения координат точек пересечения, можно легко построить все точки на плоскости, для которых расстояние до любой точки на окружности не превышает заданное число \(r\). Не забудьте, что такие точки образуют круг с центром в точке \(O\) и радиусом \(r\).